Câu 3 trang 121 SGK Hình học 11: Ôn tập chương III – Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian...

Bài 3. Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông cạnh (a), cạnh (SA) bằng (a) và vuông góc với mặt phẳng ((ABCD)).

a) Chứng minh rằng bốn mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Mặt phẳng ((α)) đi qua (A) và vuông góc với cạnh (SC) lần lượt cắt (SB, SC) và (SD) tại (B’, C’) và (D’). Chứng minh (B’D’) song song với (BD) và (AB’) vuông góc với (SB).

Trả lời:

a)

(SA ⊥(ABCD)) nên (AB) là hình chiếu của (SB) trên (mp(ABCD))

(ABCD) là hình vuông nên (BC ⊥AB). Ta có: 

(left. matrix{
SA ot (ABCD) hfill cr
BC ot AB hfill cr} ight})

(⇒ SB⊥BC) (theo định lí ba đường vuông góc)

(⇒ Δ SBC) là tam giác vuông tại ( B)

Chứng minh tương tự (ΔSDA) vuông tại (D)

(SA ⊥(ABCD) ⇒ SA ⊥ AB ⇒ Δ SAB) vuông tại (A)

                               (SAot AD)( ⇒ Δ SAD) vuông tại (A)

b)

(left. matrix{
SA ot DB hfill cr
AC ot BD hfill cr} ight} Rightarrow DB ot (SAC))     (1)

Ta lại có:

(eqalign{
& left. matrix{
BC ot SB hfill cr
BC ot AB hfill cr} ight} Rightarrow BC ot (SAB);AB’ subset (SAB)(2) cr
& Rightarrow AB’ ot BC cr
& left. matrix{
AB’ subset (alpha ) hfill cr
SC ot (alpha ) hfill cr} ight} Rightarrow AB’ ot SC(3) cr} )

 Chứng minh tương tự ta có: (AD’⊥SC)

Hai tam giác vuông (SAB) và (SAD) bằng nhau mà (AB’) và (AD’) là các đường cao tương ứng nên (AD’= AB’)      (4)

Ta cũng có: (SB’=SD’);

(ΔBSC = Δ DSC)  (⇒ widehat{ BSC} = widehat{ CSD})

Do đó (ΔB’SC’ = Δ D’SC’)

Từ đây suy ra: (C’D’ = C’B’)      (5)

Từ (4) và (5) suy ra (A) và (C’) nằm trên đường trung trực của (D’B’) do đó (D’B’⊥ AC’)   (6)

Mặt khác: (SC⊥(α)); (D’B’⊂ (α)) ( ⇒ SC⊥D’B’)   (7)

Từ (6) và (7) suy ra: (D’B’⊥(SAC))            (8)

Từ (1) và (8) ta thấy rằng (DB) và (D’B’) cùng vuông góc với mặt phẳng ((SAC)) nên (D’B’//DB)

Ta có: 

(left. matrix{
AB’ ot BC hfill cr
AB’ ot SC hfill cr} ight} Rightarrow AB’ ot (SBC) Rightarrow AB’ ot SB)