Câu 4 trang 121 SGK Hình học 11: Ôn tập chương III – Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian...

Bài 4. Hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình thoi cạnh (a) và có góc (widehat{ BAD} = 60^0). Gọi (O) là giao điểm của (AC) và (BD). Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và (SO = {{3a} over 4}) . Gọi (E) là trung điểm của đoạn (BC) và (F) là trung điểm của đoạn (BE).

a) Chứng minh mặt phẳng ( (SOF)) vuông góc với mặt phẳng ((SBC))

b) Tính các khoảng cách từ (O) và (A) đến mặt phẳng ((SBC))

Trả lời:

a) Theo giả thiết (widehat{ BAD} = 60^0) nên theo tính chất của hình thoi (widehat{ BCD} = 60^0) hay tam giác (BDC) đều.

Xét tam giác (BOE) có (BO=BE={aover 2}) và (widehat{ OBE} = 60^0) nên tam giác (BOE) đều

Do đó (OF) là đường cao và ta được (OF ⊥BC). 

(left. matrix{
SO ot (ABCD) hfill cr
{ m{OF}} ot { m{BC}} hfill cr} ight} Rightarrow SF ot BC)

(Định lí 3 đường vuông góc) 

(left. matrix{
SF ot BC hfill cr
{ m{OF}} ot { m{BC}} hfill cr} ight} Rightarrow BC ot (SOF))

Mà (BC ⊂ (SBC))

Suy ra ((SOF) ⊥ (SBC))

b) Vì ((SOF) ⊥ (SBC)) và hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến (SF) nên nếu từ điểm (O) ta kẻ (OH⊥SF) thì (OH⊥(SBC)) và (OH) chính là khoảng cách từ (O) đến ((SBC))

Ta có:

(eqalign{
& SO = {{3a} over 4}{ m{;OF = }}{{asqrt 3 } over 4} Rightarrow SF = {{asqrt 3 } over 2} cr
& OH.SF = SO.{ m{OF}} Rightarrow { m{OH = }}{{3a} over 8} cr} )

 Gọi (K) là hình chiếu của (A) trên ((SBC)), ta có (AK//OH)

Trong (ΔAKC) thì (OH) là đường trung bình, do đó:

 (AK = 2OH Rightarrow AK = {{3a} over 4})