Câu 3.75 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số

Cho dãy số (({u_n})) xác định bởi 

    ({u_1} = 1) và ({u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1) với mọi (n ge 1.)

Xét dãy số (({v_n}),) mà ({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}) với mọi (n ge 1.)

a) Chứng minh rằng dãy số (({v_n})) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó

b) Cho số nguyên dương N, hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (({v_n})) theo N. Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số (({u_n})).

Giải

a) Từ hệ thức xác định dãy số (({u_n})) suy ra ({u_{n + 1}} - {u_n} = 2n - 1) với mọi (n ge 1.)

Do đó

                    ({v_n} = 2n - 1,,,,,,,,left( {forall n ge 1} ight).)

Suy ra ({v_{n + 1}} - {v_n} = (2(n + 1) - 1) - (2n - 1) = 2) với mọi (n ge 1.) Vì thế, (({v_n})) là một cấp cộng với số hạng đầu ({v_1} = 1) và công sai bằng 2.

b) Kí hiệu ({S_N}) là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (({v_n})). Từ kết quả phần a) , ta có

               ({S_N} = {{N.left( {2.1 + left( {N - 1} ight).2} ight)} over 2} = {N^2},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1))

Mặt khác, bằng cách tương tự như lời giải phần a) bài tập 3.76, ta chứng minh được

                ({S_n} = {u_{N + 1}} - {u_1},,,,,,,,left( {forall N ge 1} ight),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 ight))

Từ (1) và (2) , ta được : ({u_{N + 1}} - {u_1} = {N^2},,) hay ({u_{N + 1}} = {N^2} + {u_1} = {N^2} + 1left( {forall N ge 1} ight).,) Từ đó, số hạng tổng quát của dẫy số (({u_n})) là : ({u_n} = {left( {n - 1} ight)^2} + 1 = {n^2} - 2n + 2,.)

Sachbaitap.com