Câu 3.74 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số

Cho dãy số (({u_n})) xác định bởi 

             ({u_1} = 1) và ({u_{n + 1}} = {u_n} + n) với mọi (n ge 1.)

Xét dãy số (({v_n}),) mà ({v_{n }} = {u_{n + 1}} - {u_n}) với mọi (n ge 1.)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N, tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (({v_n})) bằng ({u_{N + 1}} - {u_1}.)

b) Chứng minh rằng dãy số (({v_n})) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

Giải

a) Kí hiệu ({S_N}) là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (({v_n})). Ta sẽ chứng minh

              ({S_N} = {u_{N + 1}} - {u_1},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1))

Với mọi (N ge 1,) bằng phương pháp quy nạp.

Với (N = 1) , ta có ({S_1} = {v_1} = {u_2} - {u_1}.) Như vậy, (1) đúng khi (N = 1.)

Giả sử đã có (1) đúng khi (N = k,k in {N^ * },) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi (N = k + 1.)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp và định nghĩa dãy số (({v_n})) ta có

({S_{k + 1}} = {S_k} + {v_{k + 1}} = left( {{u_{k + 1}} - {u_1}} ight) + left( {{u_{k + 2}} - {u_{k + 1}}} ight), )

(= {u_{k + 2}} - {u_1}.)

Từ các chứng minmh trên suy ra (1) đúng với mọi (N ge 1.)

b) Từ định nghĩa dãy số (({v_n})) và hệ thức xác định dãy số (({u_n})), ta có ({v_n} = n) với mọi (n ge 1.) Do đó ({v_{n + 1}} - {v_n} = left( {n + 1} ight) - n, = 1) với mọi (n ge 1.) Vì thế, dãy số (({v_n})) là một cấp số cộng với số hạng đầu ({v_1} = 1) và công sai bằng 1.

Sachbaitap.com