Câu 3.72 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol (y = {x^2}) lấy dãy các điểm (({A_n})) và (({B_n})) sao cho điểm ({A_1}) có hoành độ dương và với mỗi số nguyên dương n, đường thẳng ({A_n}{B_n}) có hệ số góc bằng ( - {1 over 5}) và đường thẳng ({B_n}{A_{n + 1}}) có hệ số góc bằng ({1 over 4}.) (h.3.2).

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu ({a_n}) và ({b_n}) tương ứng với hoành độ của ({A_n}) và ({B_n}).

Chứng minh rằng các dãy số (({a_n})) và(({b_n})) là các cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó.

                                                      

Giải

Với mỗi (n ge 1,) do ({A_n}) và ({B_n})  nằm trên parabol (y = {x^2}) nên  ({A_n} = left( {{a_n};a_n^2} ight)) và ({B_n} = left( {{b_n};b_n^2} ight)). Từ đó:

- Do đường thẳng ({A_n}{B_n}) có hệ số góc bằng (- {1 over 5}) nên ({a_n} + {b_n} =  - {1 over 5}) với mọi (n ge 1;)

- Do đường thẳng ({B_n}{A_{n + 1}}) có hệ số góc bằng ({1 over 4}) nên ({a_{n + 1}} + {b_n} = {1 over 4}) với mọi (n ge 1;)

Suy ra với mọi (n ge 1,) ta có

           ({a_{n + 1}} - {a_n} = {9 over {20}}) và ({b_{n + 1}} - {b_n} =  - {9 over {20}}.)

Vì thế

- Dãy số (({a_n})) là một cấp số cộng với số hạng đầu ({a_1}) và công sai (d = {9 over {20}};)

- Dãy số (({b_n})) là một cấp số cộng với số hạng đầu ({b_1} =  - {1 over 5} - {a_1}) và công sai (d =  - {9 over {20}}.)

Số hạng tổng quát : ({a_n} = {a_1} + left( {n - 1} ight) imes {9 over {20}}) và ({b_n} =  - {1 over 5} - {a_1} - left( {n - 1} ight) imes {9 over {20}}).

Sachbaitap.com