Câu 3.58 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho cấp số nhân ...
Cho cấp số nhân
Cho cấp số nhân (({u_n})) với công bội (q in left( {0;1} ight).) Hãy tính tổng 25 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó, biết rằng ({u_1} + {u_3} = 3) và (u_1^2 + u_3^2 = 5).
Giải
Ta có
(left{ matrix{
{u_1} + {u_3} = 3 hfill cr
u_1^2 + u_3^2 = 5 hfill cr}
ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{u_1}left( {1 + {q^2}}
ight) = 3,,,(1) hfill cr
u_1^2left( {1 + {q^4}}
ight) = 5 hfill cr}
ight.,,(I))
Từ (1) suy ra (u_1>0). Do đó:
((I) Leftrightarrowleft{ matrix{
{u_1}.(1 + {q^2}) = 3 hfill cr
2{q^4} - 5{q^2} + 2 = 0 hfill cr}
ight.)
(Leftrightarrow left{ matrix{
{u_1}.(1 + {q^2}) = 3 hfill cr
q = {1 over {sqrt 2 }},,,,,,,,,left( {do,,q in left( {0;1}
ight)}
ight), hfill cr}
ight.)
(Leftrightarrow left{ matrix{
{u_1} = 2 hfill cr
q = {1 over {sqrt 2 }} hfill cr}
ight.)
Từ đó, kí hiệu S là tổng cần tính, ta được
(S = 2 imes {{1 - {{left( {{1 over {sqrt 2 }}} ight)}^{25}}} over {1 - left( {{1 over {sqrt 2 }}} ight)}} = {{8191 + 4095.sqrt 2 } over {2048}})
zaidap.com
