Câu 3.38 trang 147 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Cho a > 0. Chứng minh rằng

a) Cho a > 0. Chứng minh rằng

         (intlimits_alpha ^eta  {{{dx} over {{x^2} + {a^2}}} = {1 over a}left( {r - k} ight)} )

trong đó r và k là các số thực thỏa mãn ({ m{tan}}r = {eta  over a}, an k = {alpha  over a})

b) Tính (intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{dx} over {2 + c{ m{os}}x}}} )                          

Giải

a) Đặt (x = { m{a}} an u). Khi đó

(dx = {{adu} over {{ m{co}}{{ m{s}}^2}u}},{x^2} + {a^2} = {a^2}left( {1 + {{ an }^2}u} ight) = {{{a^2}} over {{ m{co}}{{ m{s}}^2}u}})

Theo công thức biến đổi, ta có:

(intlimits_alpha ^eta  {{{dx} over {{x^2} + {a^2}}}}  = intlimits_k^r {{{du} over a} = {1 over a}left( {r - k} ight)} ) với ( an r = {eta  over alpha }, an k = {alpha  over a})                                  

b) Đặt (u = an {x over 2}). Khi đó (dx = {{2du} over {1 + {u^2}}}.)Mặt khác

 (2 + c{ m{os}}x = 2 + {{1 - {u^2}} over {1 + {u^2}}} = {{3 + {u^2}} over {1 + {u^2}}}),

Vậy theo a) ta có

 (intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{dx} over {2 + c{ m{os}}x}}}  = intlimits_0^1 {{{1 + {u^2}} over {3 + {u^2}}}.{{2du} over {1 + {u^2}}} = } 2intlimits_0^1 {{{du} over {{u^2} + 3}} = } {2 over {sqrt 3 }}intlimits_0^{{pi  over 6}} {du}  )

(= {{pi sqrt 3 } over 9})

Sachbaitap.com