Bài 44 trang 63 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R

Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R, tìm hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất.

Với hình nón ấy, xét hình trụ nội tiếp hình nón. Tìm chiều cao của hình trụ đó, biết rằng thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông

Giải

( ullet ) Xét mp((alpha )) qua trục SO của hình nón thì ((alpha )) cắt hình nón theo tam giác cân SAB, ((alpha )) cắt mặt cầu đã cho theo thiết diện là hình vuông MNPQ (hình vuông nội tiếp (Delta SAB).)

Đặt  (widehat {SAB}) =(alpha ) thì SA = SB = (2Rsin alpha .)

Và (OB = SBcos alpha  = Rsin 2alpha .) Từ đó diện tích xung quanh của hình nón là

({S_{xq}} = pi R.sin 2alpha .2Rsin alpha  = 4pi {R^2}{sin ^2}alpha cos alpha )

        (= 4pi {R^2}(1 - {cos ^2}alpha )cosalpha .)

Đặt (f(t) = (1 - {t^2})t) với (0 < t = cos alpha  < 1.)

Dễ thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi (t = {1 over {sqrt 3 }} = cos alpha  Rightarrow an alpha  = sqrt 2 .)

( Rightarrow an alpha  = sqrt 2 ). Khi ấy ({{SO} over {OB}} = an alpha  = sqrt 2 ,) tức là (SO = OBsqrt 2 .( * ))

Vậy hình nón có đường cao và bán kính đáy thỏa mãn điều kiện (left(  *  ight)) nội tiếp mặt cầu đã chốc diện tích xung quanh lớn nhất.

Dễ thấy ({{S{O_1}} over {SO}} = {{MQ} over {AB}} = {x over {AB}}) (đặt MQ = MN = x).

Khi ấy ({{SO - x} over {SO}} = {x over {AB}} Rightarrow SO - x = {{SO} over {AB}}.x = {{sqrt 2 } over 2}x.)

Từ đó (SO = {x over 2}left( {2 + sqrt 2 } ight).) (1)

Mặt khác (SO = OB an alpha  = Rsin 2alpha . an alpha  = 2R{sin ^2}alpha .) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (x = {{4R{{sin }^2}alpha } over {2 + sqrt 2 }} = {{4R.{2 over 3}} over {2 + sqrt 2 }} = {{8R} over {3left( {2 + sqrt 2 } ight)}} = {4 over 3}Rleft( {2 - sqrt 2 } ight).)

Vậy chiều cao của hình trụ phải tìm là ({{4R} over 3}left( {2 - sqrt 2 } ight).)

Sachbaitap.com