Câu 3.25 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Một hình phẳng được giới hạn bởi . Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên).

Một hình phẳng được giới hạn bởi (y = {e^{ - x}},y = 0,x = 0,x = 1). Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên).

a) Tính diện tích S_n của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).

b) Tìm (mathop {lim }limits_{n o infty } {S_n})  và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.

Hướng dẫn làm bài

a) ({S_n} = {{{1 over n}(1 - {e^{ - 1}})} over {{e^{{1 over n} - 1}}}}) . HD: Theo hình 80 ta có:

({S_n} = {1 over n}{ m{[}}{e^{ - {1 over n}}} + {e^{ - 2{1 over n}}} + ... + {e^{ - {n over n}}}{ m{]}} = {1 over n}{e^{ - {1 over n}}}{{1 - {e^{ - 1}}} over {1 - {e^{ - {1 over n}}}}} = {{{1 over n}(1 - {e^{ - 1}})} over {{e^{{1 over n}}} - 1}})

b) (mathop {lim }limits_{n o infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}})

Mặt khác  (intlimits_0^1 {{e^{ - x}}dx = 1 - {e^{ - 1}}} )

Sachbaitap.com