Bài 3.19 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng minh rằng:

Đặt ({I_{m,n}} = intlimits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}} dx,m,n in {N^*}). Chứng minh rằng:({I_{m,n}} = {n over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},m > 0,n > 1)

 Từ đó tính I_1,2 và I_1,3 .

Hướng dẫn làm bài

Dùng tích phân từng phần với (u = {(1 - x)^n},dv = {x^m}dx) , ta được:

({I_{m,n}} = {{{x^{m + 1}}} over {m + 1}}{(1 - x)^n}left| {matrix{1 cr 0 cr} } ight. + {n over {m + 1}}intlimits_0^1 {{x^{m + 1}}{{(1 - x)}^{n - 1}}dx} )

Vậy ({I_{m,n}} = {n over {m + 1}}intlimits_0^1 {{x^{m + 1}}} {(1 - x)^{n - 1}}dx )

(= {n over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},n > 1,m > 0) .

({I_{1,2}} = {1 over {12}})  và ({I_{1,3}} = {1 over {20}})

Sachbaitap.com