Câu 20 trang 226 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Chứng minh rằng phương trình...

Chứng minh rằng phương trình ({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0) luôn có ít nhất một nghiệm.

Giải

Đặt (f(x)={x^3} + a{x^2} + bx + c = 0)

Do (mathop {lim }limits_{x o  – infty } fleft( x ight) =  – infty ) nên  có số (α < 0) sao cho (f(α) < 0).

Do (mathop {lim }limits_{x o  + infty } fleft( x ight) =  + infty ) nên có số (β > 0) sao cho (f(β) > 0).

Hàm số (fleft( x ight) = {x^3} + a{x^2} + bx + c) liên tục trên (mathbb R) chứa đoạn (left[ {alpha ;eta } ight]) nên theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số (d in left[ {alpha ;eta } ight]) sao cho (f(d) = 0). Đó chính là nghiệm của phương trình (f(x) = 0).