Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh rằng:...
Chứng minh rằng:. Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao – Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức Chứng minh rằng: a) Nếu x 2 + y 2 = 1 thì (|x + y|,, le sqrt 2 ) b) Nếu 4x – 3y = 15 thì x 2 + y 2 ≥ 9 Giải a) Ta có: (x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2xy ≤ x 2 + ...
Chứng minh rằng:
a) Nếu x2 + y2 = 1 thì (|x + y|,, le sqrt 2 )
b) Nếu 4x – 3y = 15 thì x2 + y2 ≥ 9
Giải
a) Ta có:
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy ≤ x2 + y2 + x2 + y2 = 2
⇒ (|x + y|,, le sqrt 2 )
b) Vì 4x – 3y = 15 ( Rightarrow y = {4 over 3}x – 5)
Do đó:
(eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 over 3}x – 5)^2} cr&= {x^2} + {{16} over 9}{x^2} – {{40} over 3}x + 25 cr
& ={{25} over 9}{x^2} – {{40} over 3}x + 25 = {({5 over 3}x – 4)^2} + 9 ge 9 cr} )
Chú ý: Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
a) Ta có:
(eqalign{
& {(x + y)^2} = {(x.1 + y.1)^2} le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 cr
& Rightarrow |x + y| le sqrt 2 cr} )
b) Ta có:
(eqalign{
& {15^2} = {(4x – 3y)^2} le ({4^2} + {3^2})({x^2} + {y^2}) cr
& Rightarrow {x^2} + {y^2} ge {{225} over {25}} = 9 cr} )
