Câu 9 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh rằng:...

Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b > 0 thì: ({{a + b} over 2}.{{{a^2} + {b^2}} over 2} le {{{a^3} + {b^3}} over 2})

Giải

Ta có:

(eqalign{
& {{a + b} over 2}.{{{a^2} + {b^2}} over 2} le {{{a^3} + {b^3}} over 2}cr& Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3} le 2{a^3} + 2{b^3} cr
& Leftrightarrow {a^3} – a{b^2} – {a^2}b + {b^3} ge 0 cr
& Leftrightarrow (a – b)({a^2} – {b^2}) ge 0 cr
& Leftrightarrow {(a – b)^2}(a + b) ge 0 cr} )

Điều suy ra luôn đúng.

Vậy  ({{a + b} over 2}.{{{a^2} + {b^2}} over 2} le {{{a^3} + {b^3}} over 2})