Câu 16 trang 28 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho...

Bài 16. Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho

a.  (sin 2x = – {1 over 2}, ext{ với },0 < x < pi )

b.  (cos left( {x – 5} ight) = {{sqrt 3 } over 2}, ext{ với }, – pi < x < pi )

Giải

a. Ta có:  (sin 2x = – {1 over 2} Leftrightarrow sin 2x = sin left( { – {pi over 6}} ight))

( Leftrightarrow left[ {matrix{{2x = – {pi over 6} + k2pi } cr {2x = {{7pi } over 6} + k2pi } cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {pi over {12}} + kpi } cr {x = {{7pi } over {12}} + kpi } cr} } ight.,,left( {k in mathbb Z} ight))

Với điều kiện (0 < x < π) ta có :

*  (0 < – {pi over {12}} + kpi < pi Leftrightarrow {1 over {12}} < k < {{13} over {12}},,,k inmathbb Z)

Nên( k = 1), khi đó ta có nghiệm  (x = {{11pi } over {12}})

*  (0 < {{7pi } over {12}} + kpi < pi Leftrightarrow – {7 over {12}} < k < {5 over {12}},,,k inmathbb Z)

Nên (k = 0), khi đó ta có nghiệm  (x = {{7pi } over {12}})

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng ((0 ; π)) là :

(x = {{7pi } over {12}}, ext{ và },x = {{11pi } over {12}})

b.  (cos left( {x – 5} ight) = {{sqrt 3 } over 2} Leftrightarrow left[ {matrix{{x – 5 = {pi over 6} + k2pi } cr {x – 6 = – {pi over 6} + 5 + k2pi } cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 6} + 5 + k2pi } cr {x = – {pi over 6} + 5 + k2pi } cr} } ight.)

Ta tìm (k) để điều kiện (–π < x < π) được thỏa mãn.

Xét họ nghiệm thứ nhất :

(eqalign{
& – pi < {pi over 6} + 5 + k2pi Leftrightarrow – 7pi – 30 < 12kpi < 5pi – 30 cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow – {7 over {12}} – {{30} over {12pi }} < k < {5 over {12}} – {{30} over {12pi }} cr
& Vi, – 1,38 < – {7 over {12}} – {{30} over {12pi }} < k < {5 over {12}} – {{30} over {12pi }} < – 0,37,,,k inmathbb Z, ext{ nên }, cr
& ,,,,, – 1,38 < k < – 0,37 cr} )

Chỉ có một giá trị (k) nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là (k = -1).

Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là  (x = {pi over 6} + 5 – 2pi = 5 – {{11pi } over 6})

Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai :

( – pi < – {pi over 6} + 5 + k2pi < pi Leftrightarrow – 5pi – 30 < 12kpi < 7pi – 30.) Vậy (k = -1)

Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là  (x = – {pi over 6} + 5 – 2pi = 5 – {{13pi } over 6})

Vậy :  (x = 5 – {{11pi } over 6}, ext{ và },x = 5 – {{13pi } over 6})