Câu 16 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:...
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:. Câu 16 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao – Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: a) ({1 over {1.2}} + {1 over {2.3}} + {1 over {3.4}} + …., + {1 over {n(n + 1)}} < 1) Hướng dẫn: ...
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:
a) ({1 over {1.2}} + {1 over {2.3}} + {1 over {3.4}} + …., + {1 over {n(n + 1)}} < 1)
Hướng dẫn: Viết: ({1 over {1.2}} = 1 – {1 over 2};,{1 over {2.3}} = {1 over 2} – {1 over 3};,….,,,)
b) ({1 over {{1^2}}} + {1 over {{2^2}}} + {1 over {{3^2}}} + …., + {1 over {{n^2}}} < 2)
Đáp án
a) Ta có: ({1 over {k(k + 1)}} = {{(k + 1) – k} over {k(k + 1)}} = {1 over k} – {1 over {k + 1}},,,forall k ge 1)
Do đó:
(eqalign{
& {1 over {1.2}} + {1 over {2.3}} + {1 over {3.4}} + …., + {1 over {n(n + 1)}} cr&= 1 – {1 over 2} + {1 over 2} – {1 over 3} + … + {1 over n} – {1 over {n + 1}} cr
& = 1 – {1 over {n + 1}} < 1 cr} )
b) Ta có: ({1 over {{k^2}}} < {1 over {k(k – 1)}} Rightarrow {1 over {{k^2}}} < {1 over {k – 1}} – {1 over k},,,(k le 2))
Do đó:
(eqalign{
& {1 over {{1^2}}} + {1 over {{2^2}}} + {1 over {{3^2}}} + …., + {1 over {{n^2}}}< cr& 1 + (1 – {1 over 2} + {1 over 2} – {1 over 3} + … + {1 over {n – 1}} – {1 over n}) cr
& Rightarrow {1 over {{1^2}}} + {1 over {{2^2}}} + … + {1 over {{n^2}}} < 2 – {1 over n} < 2 cr} )
