Câu 14 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Câu 14 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Tính các tính phân sau

Tính các tính phân sau

a) (intlimits_0^1 {{{dx} over {{x^2} + 1}}} )

b) (intlimits_0^1 {{{dx} over {{x^2} + x + 1}}} )

c) (intlimits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} )

Giải

a) Đặt (x = an t Rightarrow dx = {1 over {{{cos }^2}t}}dt)

 

 (intlimits_0^1 {{{dx} over {{x^2} + 1}}}  = intlimits_0^{{pi  over 4}} {{{dt} over {{{cos }^2}t({{ an }^2}t + 1)}}}  = intlimits_0^{{pi  over 4}} {dt}  = {pi  over 4})

b) Ta có:

(I = intlimits_0^1 {{{dx} over {{x^2} + x + 1}}}  = intlimits_0^1 {{{dx} over {{{(x + {1 over 2})}^2} + {{({{sqrt 3 } over 2})}^2}}}} )

Đặt (x + {1 over 2} = {{sqrt 3 } over 2} an t Rightarrow dx = {{sqrt 3 } over 2}(1 + { an ^2}t)dt)

 

(I = intlimits_{{pi  over 6}}^{{pi  over 3}} {{{{{sqrt 3 } over 2}dt} over {{3 over 4}}}}  = {4 over 3}.{{sqrt 3 } over 2}.{pi  over 6} = {{sqrt 3 pi } over 9}) 

c) Đặt 

(left{ matrix{
u = {x^2} hfill cr
dv = {e^x}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = 2xdx hfill cr
v = {e^x} hfill cr} ight.)

Do đó: (intlimits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}  = {x^2}{e^x}|_0^1 - 2intlimits_0^1 {x{e^x}dx = e - 2intlimits_0^1 {x{e^x}dx,,,,,,,(*)} } )

Đặt

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = {e^x}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = {e^x} hfill cr} ight.)

Suy ra:

(intlimits_0^1 {x{e^x}dx = x{e^x}|_0^1}  - intlimits_0^1 {{e^x}dx}  = e - {e^x}|_0^1 = 1) 

Từ (*) suy ra:  (intlimits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}  = e - 2)

soanbailop6.com