Câu 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Xét hàm số a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, f(x + k4π) = f(x) với mọi x.

Bài 13. Xét hàm số  (y = fleft( x ight) = cos {x over 2})

a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên (k), (f(x + k4π) = f(x)) với mọi (x).

b. Lập bảng biến thiên của hàm số (y = cos {x over 2}) trên đoạn ([-2π ; 2π]).

c. Vẽ đồ thị của các hàm số (y = cos x) và (y = cos {x over 2}) trong cùng một hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy).

d. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), xét phép biến hình (F) biến mỗi điểm ((x ; y)) thành điểm ((x'; y')) sao cho (x'= 2x) và (y'= y). Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số (y = cos x) thành đồ thị của hàm số  (y = cos {x over 2}.) 

Giải

a.  (fleft( {x + k4pi } ight) = cos left( {{x over 2} + k2pi } ight) = cos {x over 2} = fleft( x ight))

b. Bảng biến thiên :

 

c.

d. Nếu đặt (x'= 2x, y'= y) thì (y = cos x) khi và chỉ khi (y' = cos {{x'} over 2}). Do đó phép biến đổi xác đinh bởi ((x ; y) ↦ (x' ; y')) sao cho (x' = 2x, y'= y) biến đồ thị hàm số (y = cos x) thành đồ thị hàm số  (y = cos {x over 2}.)

 soanbailop6.com