Câu 13 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng

(A{B^2} + C{{ m{D}}^2} + A{C^2} + B{{ m{D}}^2} + B{C^2} + A{{ m{D}}^2} )

(= 4left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} ight))

Trả lời

Trước hết, ta chứng minh

(A{C^2} + B{{ m{D}}^2} + B{C^2} + A{{ m{D}}^2} = A{B^2} + C{{ m{D}}^2} + 4I{J^2})

Đặt (overrightarrow {DA}  = overrightarrow a ,overrightarrow {DB}  = overrightarrow b ,overrightarrow {DC}  = overrightarrow c )

Ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {IJ}  = overrightarrow {IA}  + overrightarrow {AD}  + overrightarrow {DJ}   cr  &  =  - {{overrightarrow {AB} } over 2} + overrightarrow {AD}  + {{overrightarrow {DC} } over 2}  cr  &  =  - {1 over 2}left( { - overrightarrow a  + overrightarrow b } ight) + left( { - overrightarrow a } ight) + left( {{{overrightarrow c } over 2}} ight)  cr  &  = {{ - overrightarrow a  - overrightarrow b  + overrightarrow c } over 2}  cr  & {overrightarrow {AB} ^2} + {overrightarrow {CD} ^2} + 4{overrightarrow {IJ} ^2}  cr  &  = {left( {overrightarrow b  - overrightarrow a } ight)^2} + {overrightarrow c ^2} + {left( {overrightarrow a  + overrightarrow b  - overrightarrow c } ight)^2}  cr  &  = 2{overrightarrow b ^2} + 2{overrightarrow a ^2} + 2{overrightarrow c ^2} - 2overrightarrow a .overrightarrow c  - 2overrightarrow b .overrightarrow c   cr  & {overrightarrow {AC} ^2} + {overrightarrow {BD} ^2} + {overrightarrow {BC} ^2} + {overrightarrow {AD} ^2}  cr  &  = {left( {overrightarrow c  - overrightarrow a } ight)^2} + {overrightarrow b ^2} + {left( {overrightarrow c  - overrightarrow b } ight)^2} + {overrightarrow a ^2}  cr  &  = 2{overrightarrow a ^2} + 2{overrightarrow b ^2} + 2{overrightarrow c ^2} - 2overrightarrow a .overrightarrow c  - 2overrightarrow b .overrightarrow c  cr} )

Vậy, ta có:

(A{C^2} + B{{ m{D}}^2} + B{C^2} + A{{ m{D}}^2} = A{B^2} + C{{ m{D}}^2} + 4I{J^2})

Tương tự, ta có:

(A{C^2} + B{{ m{D}}^2} + A{B^2} + C{{ m{D}}^2})

(= B{C^2} + A{{ m{D}}^2} + 4H{K^2})

( A{B^2} + C{{ m{D}}^2} + B{C^2} + A{{ m{D}}^2} )

(= A{C^2} + B{D^2} + 4E{F^2} )

Từ đó suy ra:

(A{B^2} + C{{ m{D}}^2} + A{C^2} + B{{ m{D}}^2} + B{C^2} + A{{ m{D}}^2})

(= 4left( {I{J^2} + H{K^2} + E{F^2}} ight))

Sachbaitap.com