Câu 14 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P. Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho

(overrightarrow {AM}  = {1 over 3}overrightarrow {AB} ,overrightarrow {BN}  = {2 over 3}overrightarrow {BC},)

(overrightarrow {AQ}  = {1 over 2}overrightarrow {A{ m{D}}} ,overrightarrow {DP}  = koverrightarrow {DC}. )

Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng.

Trả lời

 

Cách 1

Từ (overrightarrow {AM}  = {1 over 3}overrightarrow {AB} )  ta có (overrightarrow {BM}  = {2 over 3}overrightarrow {BA} ) , mặt khác (overrightarrow {BN}  = {2 over 3}overrightarrow {BC} ) nên MN // AC.

Nếu có k để các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng thì mp(MNQ) cắt mp(ACD) theo giao tuyến PQ nên PQ // AC.

Mặt khác (overrightarrow {AQ}  = {1 over 2}overrightarrow {A{ m{D}}} ) nên (overrightarrow {DP}  = {1 over 2}overrightarrow {DC} ).

Vậy (k = {1 over 2}) thì các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.

Cách 2:

Đặt (overrightarrow {DA}  = overrightarrow a ,overrightarrow {DB}  = overrightarrow b ,overrightarrow {DC}  = overrightarrow c ) .

Khi đó (overrightarrow {BC}  = overrightarrow c  - overrightarrow b ,overrightarrow {AB}  = overrightarrow b  - overrightarrow a ).

Do (overrightarrow {AM}  = {1 over 3}overrightarrow {AB} )

nên

$$eqalign{
& overrightarrow {AM} = {1 over 3}left( {overrightarrow b - overrightarrow a } ight) = - {1 over 3}overrightarrow a + {1 over 3}overrightarrow b cr
& overrightarrow {AN} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BN} = overrightarrow b - overrightarrow a + {2 over 3}left( {overrightarrow c - overrightarrow b } ight) cr
& = - overrightarrow a + {1 over 3}overrightarrow b + {2 over 3}overrightarrow c cr
& overrightarrow {AP} = overrightarrow {A{ m{D}}} + overrightarrow {DP} = - overrightarrow a + koverrightarrow {DC} = - overrightarrow a + koverrightarrow c cr
& overrightarrow {AQ} = - {1 over 2}overrightarrow a cr} $$

Khi đó

(eqalign{  & overrightarrow {MN}  =  - {2 over 3}overrightarrow a  + {2 over 3}overrightarrow c   cr  & overrightarrow {MP}  =  - {2 over 3}overrightarrow a  - {1 over 3}overrightarrow b  + koverrightarrow c   cr  & overrightarrow {MQ}  =  - {1 over 6}overrightarrow a  - {1 over 3}overrightarrow b  cr} )

Các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có số x, y sao cho

(eqalign{& overrightarrow {MP} = xoverrightarrow {MN} + yoverrightarrow {MQ} cr & Leftrightarrow - {2 over 3}overrightarrow a - {1 over 3}overrightarrow b + koverrightarrow c cr & = - {2 over 3}xoverrightarrow a + {2 over 3}xoverrightarrow c - {1 over 6}yoverrightarrow a - {1 over 3}yoverrightarrow b cr} )

Do (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c )  không đồng phẳng nên điều đó tương đương với:

(eqalign{  & left{ matrix{   - {2 over 3}x - {1 over 6}y =  - {2 over 3} hfill cr   - {1 over 3}y =  - {1 over 3} hfill cr  {2 over 3}x = k hfill cr}  ight.  cr  &  Rightarrow y = 1,x = {3 over 4},k = {1 over 2} cr} )

Vậy khi (k = {1 over 2})  thì các điểm M, N, P, Q thuộc cùng một mặt phẳng.

Sachbaitap.com