Câu 74 trang 17 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D.

Trả lời:

 

Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho AM = AB = AD.

Khi đó, ta có ({{AM} over {AC}} = {{AB} over {AC}} = {{sqrt 2 } over 2}.)

Ngoài ra (left( {AM,AB} ight) = {45^0}) và (left( {AM,A{ m{D}}} ight) =  - {45^0}) .

Suy ra, phép vị tự V tâm A tỉ sơ (k = {{sqrt 2 } over 2}) biến điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A góc 45⁰ biến điểm M thành điểm B. Vậy nếu gọi F là phép hợp thành của V và Q thì F biến C thành B. Vì quỹ tích của C là đường tròn (O), nên quỹ tích của B là ảnh của đường tròn đó qua phép đồng dạnh.

Đường tròn quỹ tích B có thể xác định như sau:

Gọi AR là đường kính của (O) và PQ là đường kính của (O) vuông góc với AR (ta kí hiệu các điểm P, Q sao cho (AR, QP = 45⁰). Khi đó dễ thấy rằng phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích B là đường tròn đường kính AP.

Tương tự ta được quỹ tích D là đường tròn đường kính AQ.

Sachbaitap.com