Câu 5 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng m, các góc tại A bằng 60⁰ (left( {widehat {BA{ m{D}}} = widehat {A'AB} = widehat {A'A{ m{D}}} = {{60}^0}} ight)) . Gọi P và Q là các điểm xác định bởi (overrightarrow {AP}  = overrightarrow {D'A} ,overrightarrow {C'Q}  = overrightarrow {DC'} ). Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’. Tính độ dài đoạn thẳng PQ.

Trả lời:

 

Đặt (overrightarrow {AA'}  = overrightarrow a ,overrightarrow {AB}  = overrightarrow b ,overrightarrow {AD}  = overrightarrow c ) .

Ta có: (overrightarrow a .overrightarrow b  = overrightarrow b .overrightarrow c  = overrightarrow c .overrightarrow a  = {1 over 2}{m^2})

và ({overrightarrow a ^2} = {overrightarrow b ^2} = {overrightarrow c ^2} = {m^2}) .

Gọi M là trung điểm của BB’ thì

(overrightarrow {MP}  = overrightarrow {MB}  + overrightarrow {BA}  + overrightarrow {AP} ).

Do (overrightarrow {AP}  = overrightarrow {D'A}  =  - overrightarrow a  - overrightarrow c ).

nên

 (eqalign{  & overrightarrow {MP}  =  - {{overrightarrow a } over 2} - overrightarrow b  - overrightarrow a  - overrightarrow c   cr  &  =  - {3 over 2}overrightarrow a  - overrightarrow b  - overrightarrow c  cr} )

Mặt khác 

(eqalign{
& overrightarrow {MQ} = overrightarrow {MB'} + overrightarrow {B'C'} + overrightarrow {C'Q} cr
& ,,,,,,,,,,,, = overrightarrow {MB'} + overrightarrow {B'C'} + overrightarrow {DC'} cr
& ,,,,,,,,,,,, = {3 over 2}overrightarrow a + overrightarrow b + overrightarrow c cr} )

Như vậy (overrightarrow {MP}  =  - overrightarrow {MQ} ) , tức là ba điểm P, M, Q thẳng hàng hay đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’.

Ta có:

Sachbaitap.com