Câu 100 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1: Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc...

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.

Hướng dẫn: Từ I kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.

Giải

Kẻ: (I{ m{D}} ot AB,IE ot BC,{ m{IF}} ot { m{A}}C)

Xét hai tam giác vuông IDB và IEB, ta có:

(eqalign{
& widehat {I{ m{D}}B} = widehat {IEB} = 90^circ cr
& widehat {DBI} = widehat {EBI}left( {gt} ight) cr} )

BI cạnh huyền chung

( Rightarrow ) ∆IDB = ∆IEB (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có ;

(eqalign{
& widehat {IEC} = widehat {IFC} = 90^circ cr
& widehat {ECI} = widehat {FCI}left( {gt} ight) cr} )

CI canh huyền chung

Suy ra:  ∆ IEC = ∆IFC (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF

Xét hai tam giác vuông IDA và IFA, ta có:

            (widehat {I{ m{D}}A} = widehat {IFA} = 90^circ )

            ID = IF (chứng minh trên)

            AI cạnh huyền chung

Suy ra: ∆IDA = ∆IFA (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: (widehat {DAI} = widehat {FAI}) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của (widehat A)