Câu 10 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh rằng:...

a) Chứng minh rằng, nếu (x ≥ y ≥ 0) thì ({x over {1 + x}} ge {y over {1 + y}})

b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có: ({{|a – b|} over {1 + |a – b|}} le {{|a|} over {1 + |a|}} + {b over {1 + |b|}})

Giải

a) Với (x ≥ y ≥ 0) , ta có:

(eqalign{
& {x over {1 + x}} ge {y over {1 + y}} Leftrightarrow x(1 + y) ge y(1 + x) cr
& Leftrightarrow x + xy ge y + xy Leftrightarrow x ge y cr} )

Điều này đúng với giả thiết.

Vậy ta được điều cần phải chứng minh.

b) Vì  (|a – b| ≥ |a| + |b|) nên theo câu a ta có:

({{|a – b|} over {1 + |a – b|}} le {{|a| + |b|} over {1 + |a| + |b|}} = {{|a|} over {1 + |a| + |b|}} + {{|b|} over {1 + |a| + |b|}} le)

({{|a|} over {1 + |a|}} + {{|b|} over {1 + |b|}})

Đẳng thức xảy ra khi (a = b = 0)