Câu 1.6 trang 7 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Từ tính chất của hàm số

Từ tính chất của hàm số (y = sin x) là hàm số tuần hoàn với chu kì (2pi ), hãy chứng minh rằng:

a) Hàm số (y = Asin left( {omega x + alpha } ight) + B) ((A,B,omega ,alpha ) là những hằng số, (Aomega  e 0)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì ({{2pi } over {left| omega  ight|}})

b) Hàm số (y = Acos left( {omega x + alpha } ight) + B) ((A,B,omega ,alpha ) là những hằng số, (Aomega  e 0)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì ({{2pi } over {left| omega  ight|}})

Giải

a) Giả sử (Asin left( {omega left( {x + T} ight) + alpha } ight) = Asin left( {omega x + alpha } ight)) với mọi (x in R) .Đặt (omega x + alpha  = u) , ta được (sin left( {u + omega T} ight) = sin u), với mọi số thực (u) . Vậy suy ra (omega T = k2pi ) , tức là (T = k{{2pi } over omega },k) nguyên. Ngược lại dễ thấy rằng

(Asin left( {omega left( {x + k{{2pi } over omega }} ight) + alpha } ight) = Asin left( {omega x + alpha  + k2pi } ight))

(= Asin (omega x + alpha ))

Vậy số (T = {{2pi } over {left| omega  ight|}}) là số dương bé nhất thỏa mãn

                                (Asin left( {omega left( {x + T} ight) + alpha } ight) = Asin left( {omega x + alpha } ight)) với mọi (x in R).

( tức là (y = Asin left( {omega x + alpha } ight)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì ({{2pi } over {left| omega  ight|}}) ).

b) T là số mà (Acos left( {omega left( {x + T} ight) + alpha } ight) = Acos left( {omega x + alpha } ight)), với mọi (x in R) thì

                                (sin left( {omega left( {x + T} ight) + alpha  + {pi  over 2}} ight) = sin left( {omega x + alpha  + {pi  over 2}} ight))

Đặt (omega x + alpha  + {pi  over 2} = u), ta được (sin (u + omega T) = sin u) với mọi (u) , từ đó (omega T = k2pi ) tức là (T = k{{2pi } over omega },k) là số nguyên.

(Cách khác, (Acos left( {omega left( {x + T} ight) + alpha } ight) = Acos left( {omega x + alpha } ight)) với mọi (x), thì khi lấy (x =  - {alpha  over omega }) , ta có (cos omega T = cos 0 = 1) , từ đó (omega T = k2pi ), tức (T = k{{2pi } over omega },k) là số nguyên).

Từ đó dễ thấy rằng (y = Acos (omega x + alpha )) là một hàm số tuần hoàn với chu kì ({{2pi } over {left| omega  ight|}}).

zaidap.com