Câu 1.5 trang 7 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng số T thỏa mãn

Chứng minh rằng số T thỏa mãn (sin left( {x + T} ight) = sin x) với mọi (x in R) phải có dạng (T = k2pi ,) k là một số nguyên nào đó. Từ đó suy ra số T dương nhỏ nhất thỏa mãn (sin left( {x + T} ight) = sin x) với mọi (x in R) là (2pi ) (tức là hàm số (y = sin x) là hàm số tuần hoàn với chu kì (2pi )).

 Giải

Nếu (sin (x + T) = sin x) với mọi (x) , thì khi (x = {pi  over 2}) ta được (sin left( {{pi  over 2} + T} ight) = 1) . Số (U) mà (sin U = 1) phải có dạng (U = {pi  over 2} + k2pi ,k) là số nguyên nào đó , nên

                                ({pi  over 2} + T = {pi  over 2}k2pi )

Vậy (T = k2pi )

Ngược lại, dễ thấy rằng với mọi số nguyên (k) thì (sin (x + k2pi ) = sin x) với mọi (x).

zaidap.com