Câu 1.86 trang 28 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Chứng minh rằng hàm số

a) Chứng minh rằng hàm số  (y = {x over {x + 1}}) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Từ đó suy ra rằng

             ({{left| {a + b} ight|} over {1 + left| {a + b} ight|}} le {{left| a ight|} over {1 + left| a ight|}} + {{left| b ight|} over {1 + left| b ight|}}) , với mọi (a,b in R)

Giải

a) TXĐ: (D =mathbb Rackslash { m{{ }} - 1} )

(y' = {1 over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}} > 0,,forall x in D)

Do đó  hàm số  (y = {x over {x + 1}}) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Vì (left| {a + b} ight| le left| a ight| + left| b ight|) với mọi (a,b in R)  nên từ a) suy ra

           (fleft( {left| {a + b} ight|} ight) le fleft( {left| a ight| + left| b ight|} ight))

Hay

({{left| {a + b} ight|} over {1 + left| {a + b} ight|}} le {{left| a ight|+|b|} over {1 + left| a ight|}+|b|}= {{left| a ight|} over {1 + left| a ight| + left| b ight|}} + {{left| b ight|} over {1 + left| a ight| + left| b ight|}} )

              (le {{left| a ight|} over {1 + left| a ight|}} + {{left| b ight|} over {1 + left| b ight|}})

Sachbaitap.com