Bài tập 2 – Trang 100-101- Giải tích 12: Bài 1. Nguyên hàm...

Bài 2.Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) (f(x) = frac{x+sqrt{x}+1}{^{sqrt[3]{x}}}) ;               b) ( f(x)=frac{2^{x}-1}{e^{x}})

c) (f(x) = frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x});              d) (f(x) = sin5x.cos3x)

e) (f(x) = tan^2x)                     g) (f(x) = e^{3-2x})

h) (f(x) =frac{1}{(1+x)(1-2x)}) ;

Giải: 

a) Điều kiện (x>0). Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

(f(x) = frac{x+x^{frac{1}{2}}+1}{x^{frac{1}{3}}}) = (x^{1-frac{1}{3}}+ x^{frac{1}{2}-frac{1}{3}}+ x^{-frac{1}{3}}) = (x^{frac{2}{3}}+ x^{frac{1}{6}} + x^{-frac{1}{3}})

(∫f(x)dx = ∫(x^{frac{2}{3}}+ x^{frac{1}{6}} + x^{-frac{1}{3}})dx) = (frac{3}{5}x^{frac{5}{3}}+ frac{6}{7}x^{frac{7}{6}}+frac{3}{2}x^{frac{2}{3}}) +C

b) Ta có (f(x) = frac{2^{x}-1}{e^{x}}) = ((frac{2}{e})^{x})(-e^{-x})

 ; do đó nguyên hàm của (f(x)) là:

(F(x)= frac{(frac{2}{e})^{x}}{lnfrac{2}{e}} + e^{-x}+C) =(frac{2^{x}}{e^{x}(ln2 -1)}+frac{1}{e^{x}}+C)= (frac{2^{x}+ln2-1}{e^{x}(ln2-1)} + C)

c) Ta có (f(x) = frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}=frac{4}{sin^{2}2x})

hoặc (f(x) =frac{1}{cos^{2}x.sin^{2}x}=frac{1}{cos^{2}x}+frac{1}{sin^{2}x})

Do đó nguyên hàm của (f(x)) là (F(x)= -2cot2x + C)

d) Áp dụng công thức biến tích thành tổng:

 (f(x) =sin5xcos3x = frac{1}{2}(sin8x +sin2x)).

Vậy nguyên hàm của hàm số (f(x)) là

(F(x)) = (-frac{1}{4})((frac{1}{4}cos8x + cos2x) +C)

e) Ta có  (tan^{2}x = frac{1}{cos^{2}x}-1)

vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là (F(x) = tanx – x + C)

g) Ta có  (int {{e^{3 – 2x}}} dx =  – {1 over 2}int {{e^{3 – 2x}}} d(3 – 2x) =  – {1 over 2}{e^{3 – 2x}} + C)

h) Ta có :(int frac{dx}{(1+x)(1-2x))}=frac{1}{3}int (frac{1}{1+x}+frac{2}{1-2x})dx)

                = (frac{1}{3}(lnleft | 1+x ight |)-lnleft | 1-2x ight |)+C) 

                = (frac{1}{3}lnleft | frac{1+x}{1-2x} ight | +C).