Bài tập 2 - Trang 89 - SGK Hình học 12

Bài tập 2 - Trang 89 - SGK Hình học 12

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên các trục.

Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng 

(d):  (left{egin{matrix} x=2+t & y=-3+2t & z= 1+3t& end{matrix} ight.)

lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) ((Oxy)) ;

b) ((Oyz)).

Giải:

a) Xét mặt phẳng ((P)) đi qua (d) và ((P) ⊥ (Oxy)), khi đó (∆ = (P)  ∩ (Oxy)) chính là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng ((Oxy)).

Phương trình mặt phẳng ((Oxy)) có dạng: (z = 0) ;  vectơ (overrightarrow{k})(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của  ((Oxy)), khi đó (overrightarrow{k}) và  (overrightarrow{u}( 1 ; 2 ; 3)) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ((P)).

(overrightarrow{n}=left [overrightarrow{u},overrightarrow{k} ight ] = (2 ; -1 ; 0)) là vectơ pháp tuyến của ((P)).

Phương trình mặt phẳng ((P)) có dạng:

       (2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0)

 hay (2x - y - 7 = 0).

Đường thẳng hình chiếu (∆) thỏa mãn hệ:

                                       (left{egin{matrix} z=0 & 2x-y-7=0.& end{matrix} ight.)

Điểm (M_0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆) ; vectơ chỉ phương (overrightarrow{v}) của (∆) vuông góc với (overrightarrow{k}) và vuông góc với (overrightarrow{n}), vậy có thể lấy (overrightarrow{v}=left [overrightarrow{k},overrightarrow{n} ight ]= (1 ; 2 ; 0)).

Phương trình tham số của hình chiếu (∆) có dạng:

                                       (left{egin{matrix} x=4+t & y=1+2t& ,tin R z=0& end{matrix} ight.).

b) Tương tự phần a), mặt phẳng ((Oxy)) có phương trình (x = 0).

 lấy (M_1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d) và  (M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d), hình chiếu vuông góc của 

(M_1) trên ((Oxy)) là (M_1)((0 ; -3 ; 1)), hình chiếu vuông góc của (M_2) trên ((Oyz)) là chính nó.

Đườn thẳng (∆) qua (M'_1, MM_2) chính là hình chiếu vuông  góc của (d) lên ((Oyz)).

Ta có: (overrightarrow{M'_{1}M_{2}}(0 ; -4 ; -6)) // (overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 3)).

Phương trình (M'_1M_2) có dạng: 

  (left{egin{matrix} x=0 & y=-3+2t&,t in R z=1+3t& end{matrix} ight.).

soanbailop6.com