Bài 9 trang 119 Hình học 10 Nâng cao: Tính các khoảng cách từ A đến tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu a) và khoảng cách giữa hai tiếp...

Cho đường tròn ((C):,,{x^2} + {y^2} = 4) và điểm A(-2, 3)

a) Viết phương trình của các tiếp tuyến của (C) kể từ A.

b) Tính các khoảng cách từ A đến tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu a) và khoảng cách giữa hai tiếp điểm đó.

Giải

Đường tròn (C) có tâm  O(0 ; 0), bán kính R=2.

a) Đường thẳng Δ qua A có dạng

(eqalign{
& a(x + 2) + b(y – 3) = 0 cr
& Leftrightarrow ,ax + by + 2a – 3b = 0 cr} ) 

Δ là tiếp tuyến của (C)

(eqalign{
& Leftrightarrow ,,d(O,;,Delta ) = R,,, Leftrightarrow ,,,{{|2a – 3b|} over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,{(2a – 3b)^2} = 4({a^2} + {b^2}) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,5{b^2} – 12ab = 0 cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,b(5b – 12a) = 0cr&,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Leftrightarrow ,,,left[ matrix{
b = 0 hfill cr
12a = 5b hfill cr} ight. cr} ) 

Với b = 0, chọn a = 1 ta có tiếp tuyến ({Delta _1},,:,,x + 2 = 0)

Với (12a=5b), chọn (a=5, b=12) ta có tiếp tuyến ({Delta _2}:,,5x + 12y – 26 = 0)

b) Gọi T, T’ là tiếp điểm của ({Delta _1},,,{Delta _2}) với (C) . Ta có

(AT = AT’ = sqrt {A{O^2} – {R^2}}  = sqrt {13 – 4}  = 3)

Gọi H là giao điểm của TT’ và AO, TH là đường cao của tam giác vuông ATO, ta có

(eqalign{
& {1 over {T{H^2}}} = {1 over {A{T^2}}} + {1 over {T{O^2}}} = {1 over 9} + {1 over 4} = {{13} over {36}} cr
& Rightarrow ,,TH = {6 over {sqrt {13} }},, Rightarrow ,,,TT’ = 2TH = {{12} over {sqrt {13} }} cr} )