Bài 14 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao, Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định...

Cho parabol ((P):{y^2} = {1 over 2}x.) Gọi M,N là hai điểm di động trên (P) sao cho (OM ot ON) (M,N không trùng với O). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Giải

Giả sử (M(2y_1^2,;,{y_1}),, in ,,(P),,,,N(2y_2^2,;,{y_2}),, in ,,(P)) trong đó ({y_1},,{y_2}, e 0) và ({y_1} e ,{y_2}) vì (overrightarrow {OM} .,overrightarrow {ON}  = 0) nên (4y_1^2y_2^2 + {y_1}{y_2} = 0)

 suy ra (4{y_1}{y_2} + 1 = 0,,, Leftrightarrow ,,{y_1}{y_2} =  – {1 over 4})

Ta có (overrightarrow {MN}  = left( {2y_2^2 – 2y_1^2,;,{y_2} – {y_1}} ight) )

                    (= left( {{y_2} – {y_1}} ight).left( {2{y_2} + 2{y_1},;,1} ight))

Vì ({y_1} e ,{y_2}) nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng MN là ((2{y_1} + 2{y_2},;,1)) .

Do đó vec tơ pháp tuyến của MN là (overrightarrow n  = (1,;, – 2{y_1} – 2{y_2}))

 Phương trình tổng quát của MN là

(1.(x – 2y_1^2) – (2{y_1} + 2{y_2}).(y – {y_1}) = 0)

Tìm giao điểm của MN với trục hoành bằng cách thay (y=0) vào (*) ta được

(x – 2y_1^2 + 2y_1^2 + 2{y_1}{y_2} = 0,,,, Leftrightarrow ,,,x = {1 over 2})

Vậy MN đi qua điểm (left( {{1 over 2},;,0} ight)) cố định.