Bài 12 trang 119 SGK Hình học 10 Nâng cao, Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm...

Cho elip ((E):{{{x^2}} over {25}} + {{{y^2}} over 9} = 1.)

a) Xác định tọa độ hai tiêu điểm  và các đỉnh của (E).

b) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của elip (E).

c) Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) nói ở câu b) trong cùng một hệ trục tọa độ.

d) Viết phương trình của đường tròn đi qua các giao điểm của hai đường cônic nói trên.

Giải

a) Ta có: (a = 5,,,,,b = 3,,,,c = sqrt {{a^2} – {b^2}}  = 4)

Tọa độ các tiêu điểm của (E) là ({F_1},( – 4,;,0),,,,{F_2},(4,;,0)) .

Tọa độ các đỉnh của (E) là ({A_1}( – 5,;,0),,,,{A_2}(5,;,0),,,,{B_1}(0,;, – 3),,,,{B_2}(0,;,3)) .

b) (H) nhận (-4, 0) và (4, 0) làm đỉnh thì (a=4).

 (H) nhận (-5, 0) và (5, 0) làm tiêu điểm  thì  có (c=5).

( Rightarrow ,,{b^2} = {c^2} – {a^2} = 25 – 16 = 9,,, Rightarrow ,,,b = 3)

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là : ({{{x^2}} over {16}} – {{{y^2}} over 9} = 1)

c) Vẽ (E) và (H).

d) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ phương trình

(left{ matrix{
{{{x^2}} over {25}} + {{{y^2}} over 9} = 1 hfill cr
{{{x^2}} over {16}} – {{{y^2}} over 9} = 1 hfill cr} ight.,,,,, Leftrightarrow ,,,left{ matrix{
{x^2} = {{800} over {41}} hfill cr
{y^2} = {{81} over {41}} hfill cr} ight.) 

Vậy (E) và (H) cắt nhau tại 4 điểm có tọa độ thỏa phương trình ({x^2} + {y^2} = {{881} over {41}})

Vậy đường tròn đi qua các giao điểm  của (E) và (H) có phương trình là ({x^2} + {y^2} = {{881} over {41}})