Bài 13 trang 120 SGK Hình học 10 Nâng cao, Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất....

Cho parabol ((P):{y^2} = 2px.) Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M’ là hình chiếu của M trên  Oy  và  I  là trung điểm của đoạn OM’. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Giải

Giả sử (M({x_o},;,{y_o}),, in ,,,(P))  ta có (y_o^2 = 2p{x_o},({x_o} e 0)) . M’ là hình chiếu của M trên Oy nên (M'(0,;,{y_o})) , khi đó (Ileft( {0,;,{{{y_o}} over 2}} ight),, Rightarrow ,,overrightarrow {IM}  = left( {{x_o},;,{{{y_o}} over 2}} ight)) là vectơ chỉ phương của đường thẳng IM.

Phương trình tham số của IM là 

(left{ matrix{
x = {x_o}.t hfill cr
y = {{{y_o}} over 2} + {{{y_o}} over 2}.t hfill cr} ight.)

Thay x, y trong phương trình tham số của IM vào phương trình của (P) ta được

({{y_o^2} over 4}(1 + {t^2}) = 2p{x_o}t)

mà (2p{x_o} = y_o^2) nên (y_o^2(1 + {t^2}) = 4y_o^2t,,, Leftrightarrow ,,(1 + {t^2}) = 4t,,) ( do ({y_o} e 0)) 

(eqalign{
& ,, Leftrightarrow ,,{(t – 1)^2} = 0,,, cr
& ,, Leftrightarrow ,t = 1 cr} )                                                       

Vậy IM cắt (P) tại điểm duy nhất (M({x_o},;,{y_o}),) .