Bài 8 trang 98 sgk hình học 11: Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc...

Bài 8. Cho tứ diện (ABCD) có (AB = AC = AD) và (widehat{BAC}=widehat{BAD}=60^{0}.) Chứng minh rằng: 

 a) (AB ⊥ CD);

 b) Nếu (M, N) lần lượt là trung điểm của (AB) và (CD) thì (MN ⊥ AB) và (MN ⊥ CD).

Giải

(h.3.21)

a) (overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}=overrightarrow{AB}(overrightarrow{AD}-overrightarrow{AC}))

(=overrightarrow{AB}.overrightarrow{AD}-overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC})

(=AB.AD.coswidehat{BAD}-AB.AC.coswidehat{BAC} =0)

(Rightarrow  AB ⊥ CD).
b) (overrightarrow{MN}=overrightarrow{MA}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{DN},)  (1)
    (overrightarrow{MN}=overrightarrow{MB}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{CN}.)   (2)

 Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được: (overrightarrow{MN}=frac{1}{2}(overrightarrow{AD}+overrightarrow{BC})=frac{1}{2}(overrightarrow{AD}+overrightarrow{AC}-overrightarrow{AB}).)

Ta có (overrightarrow{AB}.overrightarrow{MN}={1 over 2}overrightarrow {AB} .(overrightarrow {AD}  + overrightarrow {AC}  – overrightarrow {AB} ))

(= {1 over 2}(overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD}  + overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  – A{B^2}))

(= {1 over 2}(AB.AD.coswidehat{BAD}+AB.AC.coswidehat{BAC}-AB^2))

(={1 over 2}(AB.AD.cos60^0+AB.AC.cos60^0-AB^2))

(={1 over 2}left({1 over 2}AB^2+{1 over 2}AB^2-AB^2 ight)=0) (Rightarrow  AB ⊥ MN).

Chứng minh tương tự ta được: (CD ⊥ MN).