Bài 2 trang 97 sgk hình học 11: Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc...

Bài 2. Cho hình tứ diện (ABCD). 

a) Chứng minh rằng: (overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}+overrightarrow{AC}.overrightarrow{DB}+overrightarrow{AD}.overrightarrow{BC}=0.)

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện (ABCD) có (AB ⊥ CD) và (AC ⊥ DB) thì (AD ⊥ BC). 

Giải

a) (overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}=overrightarrow{AB}.(overrightarrow{AD}-overrightarrow{AC}))

    (overrightarrow{AC}.overrightarrow{DB}=overrightarrow{AC}.(overrightarrow{AB}-overrightarrow{AD}))

    (overrightarrow{AD}.overrightarrow{BC}=overrightarrow{AD}.(overrightarrow{AC}-overrightarrow{AB}).)

Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được đẳng thức phải chứng minh.

b) (AB ⊥ CD Rightarrow overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}=0,)

    (AC ⊥ DB Rightarrow overrightarrow{AC}.overrightarrow{DB}=0)

Từ đẳng thức câu a ta có:

(Rightarrowoverrightarrow{AD}.overrightarrow{BC}=0Rightarrow AD ⊥ BC).