Bài 74 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao, Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:...

Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:

x⁴ + (1 – 2m)x² + m² – 1 = 0

a) Vô nghiệm

b) Có hai nghiệm phân biệt

c) Có bốn nghiệm phân biệt

Đáp án

Đặt y = x² ; y ≥ 0, ta được phương trình:

y² + (1 – 2m)y + m² – 1 = 0   (1)

a) Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ (1) vô nghiệm hoặc (1) chỉ có nghiệm âm

Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi:

(eqalign{
& Delta = {(1 – 2m)^2} – 4({m^2} – 1) = 5 – 4m < 0 cr
& Rightarrow m > {5 over 4} cr} )

Phương trình (1) chỉ có nghiệm âm khi và chỉ khi:

(left{ matrix{
Delta ge 0 hfill cr
P > 0 hfill cr
S < 0 hfill cr} ight.)

Thay Δ = 5 – 4m, P = m²– 1 và S = 2m – 1, ta có hệ:

(left{ matrix{
5 – 4m ge 0 hfill cr
{m^2} – 1 > 0 hfill cr
2m – 1 < 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow m < – 1) 

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi

(left[ matrix{
m < – 1 hfill cr
m > {5 over 4} hfill cr} ight.)

b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.

Ta xét hai trường hợp:

+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

P = m²  – 1 < 0 hay -1 < m < 1

Nếu Δ = 0 hoặc (m = {5 over 4}) thì phương trình (1) có một nghiệm kép dương (x = {3 over 4})

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

 (m in ( – 1,1) cup { m{{ }}{5 over 4}{ m{} }})

c) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, tức là:

(left{ matrix{
Delta > 0 hfill cr
P < 0 hfill cr
S > 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
5 – 4m > 0 hfill cr
{m^2} – 1 > 0 hfill cr
2m – 1 > 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow 1 < m < {5 over 4})