Bài 77 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh các bất đẳng thức sau:...

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) (a + b + c ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {ca} ) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0          

b) a²b² + b²c² + c²a² ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R

Khi nào có đẳng thức?

Đáp án

a) Ta có:

(eqalign{
& a + b + c ge sqrt {ab} + sqrt {bc} + sqrt {ca} cr
& Leftrightarrow 2a + 2b + 2c – 2sqrt {ab} – 2sqrt {bc} – 2sqrt {ca} ge 0 cr
& Leftrightarrow (a – 2sqrt {ab} + b) + (b – 2sqrt {bc} + c) cr&;;;;;;+ (c – 2sqrt {ac} + a) ge 0 cr
& Leftrightarrow {(sqrt a – sqrt b )^2} + {(sqrt b – sqrt c )^2} + {(sqrt c – sqrt a )^2} ge 0 cr} )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

b) Ta có:

a²b² + b²c² + c²a² ≥ abc(a + b +c)

⇔ 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² ≥ 2abc(a + b +c)

⇔ (a²b² – 2a²bc+ a²c²) + (a²c² – 2c²ab +b²c²) +(a²b² – 2b²ac +b²c²) ≥ 0

⇔  (ab – ac)² + (ac – bc)² + (ab – bc)² ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc 2 trong 3 số a, b, c = 0