Bài 78 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao, Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau...

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) (f(x) = |x + {1 over x}|)

b) (g(x) = {{{x^2} + 2} over {sqrt {{x^2} + 1} }})

Đáp án

a) Vì với mọi x ≠ 0; x và ({1 over x})  cùng dấu nên:

(f(x) = |x + {1 over x}|, = ,|x| + {1 over {|x|}} ge 2sqrt {|x|.{1 over {|x|}}}  = 2) với mọi x ≠ 0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: (|x|, = ,{1 over {|x|}} Leftrightarrow ,|x|, = 1, Leftrightarrow x =  pm 1)

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 2.

b) Với mọi x ∈ R, ta có:

( g(x) = {{{x^2} + 1} over {sqrt {{x^2} + 1} }} + {1 over {sqrt {{x^2} + 1} }} )
(Leftrightarrow sqrt {{x^2} + 1} + {1 over {sqrt {{x^2} + 1} }} ge 2sqrt {sqrt {{x^2} + 1} .{1 over {sqrt {{x^2} + 1} }}}=2) (theo bất đẳng thức Cô-si)

(g(x) = 2 Leftrightarrow sqrt {{x^2} + 1}  = {1 over {sqrt {{x^2} + 1} }} )

(Leftrightarrow {x^2} + 1 = 1 Leftrightarrow x = 0)

Vậy giá trị nhỏ nhất của g(x) là 2.