Bài 50 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:...

 Bài 50. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) (y = {{x + 1} over {x – 1}})                       b) (y = {{2x + 1} over {1 – 3x}})

Giải

a) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ 1 ight})
 (mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} y =  + infty ;,,mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} y =  – infty ) nên (x = 1) là tiệm cận đứng.
Vì (mathop {lim }limits_{x o  + infty } y = mathop {lim }limits_{x o  – infty }  = 1) nên (y = 1) là tiệm cận ngang.

(y = {{left| matrix{
1,,,,,,,,,,,1 hfill cr
1,,,,,,, – 1 hfill cr} ight|} over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}} = {{ – 2} over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}} < 0) với mọi (x e 1)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ;1} ight)) và (left( {1; + infty } ight))
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm ((0;-1)) cắt trục hoành tại điểm ((-1;0))
Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận (I(1;1)) làm tâm đối xứng.

b) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ {{1 over 3}} ight})
(mathop {lim }limits_{x o {{left( {{1 over 3}} ight)}^ + }} y =  – infty ;,mathop {lim }limits_{x o {{left( {{1 over 3}} ight)}^ – }} y =  – infty ) nên (x = {1 over 3}) là tiệm cận đứng.
Vì (mathop {lim }limits_{x o  + infty } y = mathop {lim }limits_{x o  – infty }  =  – {2 over 3}) nên (y =  – {2 over 3}) là tiệm cận ngang.

(y = {{left| matrix{
2,,,,,,,1 hfill cr
– 3,,,,1 hfill cr} ight|} over {{{left( {1 – 3x} ight)}^2}}} = {5 over {{{left( {1 – 3x} ight)}^2}}} > 0) với mọi (x e {1 over 3})

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ;{1 over 3}} ight)) và (left( {{1 over 3}; + infty } ight))
Đồ thị cắt trục tung tại điểm ((0;1)) và cắt trục hoành tại điểm (left( { – {1 over 2};0} ight)).
Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận (Ileft( {{1 over 3};{1 over 2}} ight)) làm tâm đối xứng.