Bài 6: Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong không gian
Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB ...
Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt
Bài tập minh họa
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC .
- Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD)
- Xác định giao điểm J = MN ∩(SBD)
- Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Bài giải
Bài giải:
- Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD )
- Chọn mp phụ (SAC) ⊃ AN
- Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SBD)
( SAC) ∩ (SBD) = SO
- Trong (SAC), gọi I = AN ∩ SO
I ∈ AN
I ∈ SO mà SO ∈ ( SBD) → I ∈ ( SBD)
Vậy: I = AN ∩ ( SBD)
2. Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)
- Chọn mp phụ (SMC) ∩ MN
- Tìm giao tuyến của (SMC ) và (SBD)
S là điểm chung của (SMC ) và (SBD)
Trong (ABCD) , gọi E = MC ∩ BD
→ ( SAC) ∩ (SBD) = SE
- Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SE
J∈ MN
J∈ SE mà SE ∈ ( SBD) → J ∈ ( SBD)
Vậy J = MN ∩( SBD)
2. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Ta có : B là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
- I ∈ SO mà SO ∈ ( SBD) → I ∈ ( SBD)
- I ∈ AN mà AN∈ (ANB) → I ∈ (ANB)
→ I là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
- J ∈ SE mà SE ∈ ( SBD) → J ∈ ( SBD)
- J ∈ MN mà MN ∈ (ANB) → J ∈ (ANB)
→ J là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
Vậy : B, I, J thẳng hàng
Bài 2: Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M .
- Tìm giao điểm K = IJ và (SAC)
- Xác định giao điểm L = DJ và (SAC)
- Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Bài giải
Bài giải
Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC)
- Chọn mp phụ (SIB) ⊃ IJ
- Tìm giao tuyến của (SIB ) và (SAC)
S là điểm chung của (SIB ) và (SAC)
Trong (ABCD) , gọi E = AC ∩ BI
→ (SIB) ∩ ( SAC) = SE
Trong (SIB), gọi K = IJ ∩ SE
K ∈ IJ
K ∈ SE mà SE⊂ (SAC ) → K ∈ (SAC)
Vậy: K = IJ ∩ ( SAC)
Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC)
- Chọn mp phụ (SBD) ⊃ DJ
- Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)
S là điểm chung của (SBD ) và (SAC)
Trong (ABCD) , gọi F = AC ∩ BD
→ (SBD) ∩ ( SAC) = SF
- Trong (SBD), gọi L = DJ∩SF
L ∈ DJ
L ∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) → L ∈ (SAC)
Vậy : L = DJ ∩ ( SAC)
Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Ta có :A là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
- K ∈ IJ mà IJ ⊂ (AJO) → K ∈(AJO)
- K ∈SE mà SE⊂ (SAC ) → K ∈ (SAC )
→ K là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
- L ∈ DJ mà DJ ⊂ (AJO) → L ∈ (AJO)
- L ∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) → L ∈ (SAC )
→ L là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
- M ∈ JO mà JO ⊂ (AJO) → M ∈ (AJO)
- M ∈SC mà SC ⊂(SAC ) → M ∈ (SAC )
→M là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng
Bài 3: Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC.
- Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
- Tìm giao điểm I = BC ∩( LMN) và J = SC ∩ ( LMN)
- Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Bài giải
Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
Ta có : N là điểm chung của (LMN) và (ABC)
Trong (SAB) , LM không song song với AB
Gọi K = AB ∩ LM
K ∈ LM mà LM ⊂ (LMN ) → K ∈ (LMN )
K ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) → K ∈(ABC)
Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN)
- Chọn mp phụ (ABC) ∩ BC
- Tìm giao tuyến của (ABC ) và (LMN)
→ (ABC) ∩ ( LMN) = NK
- Trong (ABC), gọi I = NK ∩ BC
I ∈ BC
I ∈ NK mà NK ⊂ (LMN ) → I ∈ (LMN)
Vậy : I = BC ∩ ( LMN)
Tìm giao điểm J = SC ∩ ( LMN)
- Trong (SAC), LN không song song với SC
gọi J = LN ∩ SC
J ∈ SC
J∈ LN mà LN ⊂ (LMN ) → J ∈ (LMN)
Vậy : J = SC ∩ ( LMN)
Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Ta có : M, I, J là điểm chung của (LMN) và ( SBC)
Vậy : M, I, J thẳng hàng
Bài 4: Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.
- Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC)
- Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC)
- Chứng minh C , I , J thẳng hàng
Bài giải
Tìm giao điểm I = BN ∩( SAC)
- Chọn mp phụ (SBD) ∩ BN
- Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)
Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD
→ (SBD) ∩ ( SAC) = SO
- Trong (SBD), gọi I = BN ∩ SO
I ∈ BN
I ∈ SO mà SO ⊂ (SAC ) → I ∈ (SAC)
Vậy : I = BN ∩ ( SAC)
Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC) :
- Chọn mp phụ (SMD) ∩ MN
- Tìm giao tuyến của (SMD ) và (SAC)
Trong (ABCD), gọi K = AC ∩ DM
→ (SMD) ∩ ( SAC) = SK
- Trong (SMD), gọi J = MN ∩ SK
J ∈ MN
J ∈ SK mà SK ⊂ (SAC ) → J ∈ (SAC)
Vậy : J = MN ∩ ( SAC)
Chứng minh C , I , J thẳng hàng :
Ta có : C, I, J là điểm chung của (BCN ) và (SAC)
Vậy : C, I , J thẳng hàng
Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Cho tứ diện SABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB kéo dài tại I, EF cắt BC kéo dài tại J, FD cắt CA kéo dài tại K. Chứng minh rằng 3 điểm I ,J ,K thẳng hàng.
Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J là hai điểm trên cạnh AD, SB
a). Tìm các giao điểm K, L của IJ và DJ với (SAC)
b). AD cắt BC tại O; OJ cắt SC tại M. Chứng minh A, K, L, M thẳng hang