12/05/2018, 23:25

Bài 6: Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong không gian

Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB ...

Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình bình hành  ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC .

  1. Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD)
  2. Xác định giao điểm J = MN ∩(SBD)
  3. Chứng minh I , J , B thẳng hàng

Bài giải

Chung minh 3 diem thang hang

Chung minh 3 diem thang hang 1

Bài giải: 

  1. Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD )
  • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ AN
  • Tìm  giao tuyến của (SAC ) và (SBD)

                ( SAC) ∩ (SBD) = SO

  • Trong (SAC), gọi  I = AN ∩  SO                                                                                                    

                                    I ∈ AN

                                    I ∈  SO  mà  SO ∈ ( SBD)  →  I ∈  ( SBD)

        Vậy:  I = AN ∩ ( SBD)

2. Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)

  • Chọn mp phụ (SMC) ∩ MN
  • Tìm  giao tuyến của (SMC ) và (SBD)

                S là điểm chung của (SMC ) và (SBD)

                Trong (ABCD) , gọi E = MC ∩ BD

             →   ( SAC) ∩ (SBD) = SE

  • Trong (SMC), gọi  J = MN ∩ SE                                                                                                   

                                    J∈ MN

                                    J∈ SE  mà  SE ∈ ( SBD) → J ∈ ( SBD)

        Vậy  J = MN ∩( SBD)

2. Chứng minh I , J , B thẳng hàng

      Ta có : B là điểm chung của (ANB) và ( SBD)                                                                                 

  • I ∈ SO  mà  SO ∈ ( SBD)   → I ∈ ( SBD)
  • I ∈ AN  mà  AN∈ (ANB)   → I ∈ (ANB)

          → I  là điểm chung của (ANB) và ( SBD)

  • J ∈ SE  mà  SE ∈ ( SBD)   →  J ∈ ( SBD)
  • J ∈ MN  mà  MN ∈ (ANB)   →  J ∈ (ANB)

          → J  là điểm chung của (ANB) và ( SBD)

        Vậy : B, I, J  thẳng hàng

Bài 2: Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB ,  AD cắt BC tại O và OJ cắt SC  tại M .

  1. Tìm giao điểm K = IJ và  (SAC)
  2. Xác định giao điểm L = DJ và (SAC)
  3. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng

Bài giải

Chung minh 3 diem thang hang 1

Bài giải

Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC)

  • Chọn mp phụ (SIB) ⊃ IJ
  • Tìm  giao tuyến của (SIB ) và (SAC)

                S là điểm chung của (SIB ) và (SAC)

                Trong (ABCD) , gọi E = AC ∩ BI

                →  (SIB) ∩ ( SAC) = SE

 Trong (SIB), gọi  K = IJ ∩ SE                                                                                                       

                                    K ∈ IJ

                                    K ∈ SE  mà  SE⊂ (SAC ) → K ∈ (SAC)

        Vậy:  K = IJ ∩ ( SAC)

Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC)

  • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ DJ
  • Tìm  giao tuyến của (SBD ) và (SAC)

                       S là điểm chung của (SBD ) và (SAC)

                       Trong (ABCD) , gọi F = AC ∩ BD

              → (SBD) ∩ ( SAC) = SF

  • Trong (SBD), gọi  L = DJ∩SF                                                                                                 

                                    L ∈ DJ

                                    L ∈ SF  mà  SF ⊂ (SAC ) → L ∈ (SAC)

        Vậy : L = DJ ∩ ( SAC)

Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng

        Ta có  :A là điểm chung của (SAC) và ( AJO)

  • K ∈ IJ  mà  IJ ⊂ (AJO) →  K ∈(AJO)
  • K ∈SE mà  SE⊂ (SAC ) →  K ∈ (SAC )

                → K  là điểm chung của (SAC) và ( AJO)

  • L ∈ DJ mà  DJ ⊂ (AJO) →  L ∈ (AJO)
  • L ∈ SF mà  SF ⊂ (SAC ) →  L ∈  (SAC )

            → L  là điểm chung của (SAC) và ( AJO)                                                                                                                                

  • M ∈ JO mà  JO ⊂ (AJO) → M ∈ (AJO)
  • M ∈SC mà  SC ⊂(SAC ) →  M ∈ (SAC )

                →M là điểm chung của (SAC) và ( AJO)

        Vậy : A ,K ,L ,M  thẳng hàng

Bài 3: Cho tứ diện SABC.Gọi  L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC.

  1. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
  2. Tìm giao điểm I = BC ∩( LMN) và J = SC ∩ ( LMN)
  3. Chứng minh M , I , J thẳng hàng

Bài giải

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)

   Ta có :  N là điểm chung của (LMN) và (ABC)

   Trong (SAB) , LM không song song với AB

           Gọi K = AB ∩ LM

                 K ∈ LM  mà  LM ⊂ (LMN ) →  K ∈ (LMN )

                  K ∈ AB  mà  AB ⊂ ( ABC) → K ∈(ABC)                                          

 Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN)

  • Chọn mp phụ (ABC) ∩ BC
  • Tìm  giao tuyến của (ABC ) và (LMN)

              →  (ABC) ∩ ( LMN) = NK

  • Trong (ABC), gọi  I = NK ∩ BC                                                                                                   

                                    I ∈ BC

                                    I ∈ NK  mà  NK ⊂ (LMN ) →  I ∈ (LMN)

        Vậy : I = BC ∩ ( LMN)

  Tìm giao điểm J = SC ∩ ( LMN)

  • Trong (SAC), LN không song song với SC

            gọi  J = LN ∩ SC                       

                                    J ∈ SC

                                    J∈ LN  mà  LN ⊂ (LMN ) →  J ∈ (LMN)

        Vậy : J = SC ∩ ( LMN)

Chứng minh M , I , J thẳng hàng

        Ta có : M, I, J  là điểm chung của (LMN) và ( SBC)

        Vậy : M, I, J    thẳng hàng

Bài 4: Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.

  1. Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC)
  2. Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC)
  3. Chứng minh C , I , J thẳng hàng

Bài giải

chung minh 3 diem thang hang 2

Tìm giao điểm I = BN ∩( SAC)

  • Chọn mp phụ (SBD) ∩ BN
  • Tìm  giao tuyến của (SBD ) và (SAC)

                Trong (ABCD), gọi  O = AC ∩ BD

        →  (SBD) ∩ ( SAC) = SO

  • Trong (SBD), gọi  I = BN ∩ SO                                                                                                    

                                    I ∈ BN

                                    I ∈ SO  mà  SO ⊂ (SAC ) →  I ∈ (SAC)

        Vậy : I = BN ∩ ( SAC)

Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC) :

  • Chọn mp phụ (SMD) ∩ MN
  • Tìm  giao tuyến của (SMD ) và (SAC)

                Trong (ABCD), gọi  K = AC ∩ DM

          →  (SMD) ∩ ( SAC) = SK

  • Trong (SMD), gọi  J = MN ∩ SK                                                                                                  

                                    J ∈ MN

                                    J ∈ SK  mà  SK ⊂ (SAC ) → J ∈ (SAC)

Vậy : J = MN ∩ ( SAC)

Chứng minh C , I , J thẳng hàng :

        Ta có : C, I, J  là điểm chung của (BCN ) và (SAC)

        Vậy : C, I , J    thẳng hàng

Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Cho tứ diện SABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB kéo dài tại I, EF cắt BC kéo dài tại J, FD cắt CA kéo dài tại K. Chứng minh rằng 3 điểm I ,J ,K thẳng hàng.

Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J là hai điểm trên cạnh AD, SB

a). Tìm các giao điểm K, L của IJ và DJ với (SAC)

b). AD cắt BC tại O; OJ cắt SC tại M. Chứng minh A, K, L, M thẳng hang

0