Các phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian
Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng trong không gian Phương pháp 1: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) (a và (P) không có điểm chung) Phương ...
Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng trong không gian
Phương pháp 1: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) (a và (P) không có điểm chung)
Phương pháp 2: Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng.
Phương pháp 3: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) ta chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (Q) mà (Q) // (P)
Giao điểm, thiết diện:
Bài tập minh họa
Bài 1: Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD
Bài giải
Gọi E là trung điểm của AB. theo tính chất trọng tâm ta có tỉ số EJ/ED = EI/EC = 1/3 ( Tính chất trọng tâm)
→ IJ // CD ( Định lí talet đảo )
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD
- Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
- Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD
Bài giải
Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành :
Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // AB
Trong tam giác SCD, ta có C’D’//CD Mặt khác AB // CD → A’B’ // C’D’
Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành
Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:
Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)
Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’. Gọi N = Mx ∩ AD
Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB
- Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
- Tìm P = SC ∩ (ADN)
- Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
Bài giải
Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :
Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB
Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang )
Vậy : MN ∕ ∕ CD
Tìm P = SC ∩ (ADN):
- Chọn mp phụ (SBC) ⊃ SC
- Tìm giao tuyến của (SBC ) và (ADN)
Ta có : N là điểm chung của (SBC ) và (ADN)
Trong (ABCD), gọi E = AD ∩ AC
→ ( SBC) ∩ (ADN ) = NE
- Trong (SBC), gọi P = SC ∩ NE
Vậy : P = SC ∩ ( ADN )
Chứng minh : SI // AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
SI = (SAB) ∩(SCD)
AB // CD
→ SI // AB // CD (1)
Trong tam giác SAI có SI // MN , SI = 2MN và AB = 2 MN → SI = AB (2)
Từ (1) và (2) → SABI là hình bình hành
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SK = 2/3SB .
- Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)
- Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD. Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành
Bài giải
Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK):
Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung của (SAB) và (IJK) Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB
Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD :
Gọi L = Kx ∩ SA
Thiết diện là hình thang IJKL
Do : IJ là đường trung bình của hình thang ABCD → IJ = 1/2 (AB + CD)
Xét tam giác SAB có : LK/AB = SK/SB = 2/3 → LK =2/3.AB
IJKL là hình bình hành ↔ IJ = KL ⇔ 1/2.(AB + CD) = 2/3.AB ⇔ AB = 3.CD
Vậy : thiết diện IJKL là hình bình hành ⇔ AB = 3.CD
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD
- Chứng minh : PQ // SA.
- Gọi K = MN ∩ PQ. Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
Bài giải
Chứng minh : PQ // SA.
Xét tam giác SCD. Ta có : NP // CD ↔ DP/SD = CN/CS (1)
tương tự MN // SB ta có CN /CS = CM/CB (2)
Ta có MQ // AB → CM / CB = DQ/ DA (3)
từ (1), (2) và (3) DP / DS = DQ / DA → PQ // SA
