Bài 42 trang 214 Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh rằng:...

Chứng minh rằng:

a) (sin {{11pi } over {12}}cos {{5pi } over {12}} = {1 over 4}(2 – sqrt 3 ))

b) (cos {pi  over 7}cos {{3pi } over 7}cos {{5pi } over 7} =  – {1 over 8})

c) (sin {6^0}sin {42^0}sin {66^0}sin {78^0} = {1 over 6}) (Hướng dẫn: Nhân hai vế với cos 6⁰)

Đáp án

a) Ta có:

(eqalign{
& sin {{11pi } over {12}}cos {{5pi } over {12}} = sin (pi – {pi over {12}})cos({pi over 2} – {pi over {12}}) cr
& = {sin ^2}{pi over {12}} = {1 over 2}(1 – cos {pi over 6}) = {1 over 2}(1 – {{sqrt 3 } over 2})cr& = {1 over 4}(2 – sqrt 3 ) cr} )

b) Ta có:

(eqalign{
& cos {{3pi } over 7} = cos (pi – {{4pi } over 7}) = – cos {{4pi } over 7} cr
& cos {{5pi } over 7} = cos (pi – {{2pi } over 7}) = – cos {{2pi } over 7} cr} ) 

Nên:

(eqalign{
& cos {pi over 7}cos {{3pi } over 7}cos {{5pi } over 7} = cos {pi over 7}cos {{2pi } over 7}cos {{4pi } over 7} cr
& = {1 over {sin {pi over 7}}}(sin {pi over 7}cos {pi over 7})cos {{2pi } over 7}cos {{4pi } over 7}cr& = {1 over {sin {pi over 7}}}.{1 over 2}(sin {{2pi } over 7}cos {{2pi } over 7}).cos{{4pi } over 7} cr
& = {1 over {sin {pi over 7}}}.{1 over 4}sin {{4pi } over 7}.cos{{4pi } over 7} = {1 over {8sin {pi over 7}}}.sin {{8pi } over 7} cr
& = {{ – sin {pi over 7}} over {8sin {pi over 7}}} = – {1 over 8} cr} ) 

c) Ta có:

(eqalign{
& sin {6^0}sin {42^0}sin {66^0}sin {78^0} cr&= sin {6^0}cos {48^0}cos {24^0}cos {12^0} cr
& = {1 over {cos {6^0}}}(sin {6^0}cos {6^0})cos{12^0}cos {24^0}cos {48^0} cr
& ={1 over {cos {6^0}}}left( {{1 over 2}sin {{12}^0}cos {{12}^0}} ight)cos{24^0}.cos{48^0}cr&={1 over {cos {6^0}}}.{1 over 4}sin{24^0}cos{24^0}.cos{48^0}cr&= {1 over {cos {6^0}}}.{1 over 8}sin {48^0}cos {48^0} cr
& = {1 over {cos {6^0}}}.{1 over {16}}.sin {96^0} = {{cos {6^0}} over {16cos {6^0}}} = {1 over {16}} cr} )