Bài 58 trang 218 Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh rằng:...

Chứng minh rằng:

a) Nếu (α + β + γ = kπ (k ∈ Z)) và (cosα cosβ cosγ ≠ 0) thì

(  an alpha + an eta + an gamma = an alpha an eta an gamma)

b) Nếu (0 < alpha  < eta  < gamma  < {pi  over 2}) và ( an alpha  = {1 over 8};, an eta  = {1 over 5};, an gamma  = {1 over 2}) thì (alpha  + eta  + gamma  = {pi  over 2})

c) ({1 over {sin {{10}^0}}} – {{sqrt 3 } over {cos {{10}^0}}} = 4)

Đáp án

a) Ta có: (α + β +  γ = kπ  )

(⇒ tan (α + β ) = tan(kπ – γ) = – tanγ)

(eqalign{
& Rightarrow {{ an alpha + an gamma } over {1 – an alpha an eta }} = – an gammacr& Rightarrow an alpha + an eta = – an gamma (1 – an alpha an eta ) cr
& Rightarrow an alpha + an eta + an gamma = an alpha an eta an gamma cr} ) 

b) Ta có:

(eqalign{
& an (alpha + eta ) = {{ an alpha + an eta } over {1 – an alpha an eta }} = {{{1 over 8} + {1 over 5}} over {1 – {1 over 8}.{1 over 5}}} = {1 over 3} cr
& Rightarrow an (alpha + eta + gamma ) = {{ an (alpha + eta ) + an gamma } over {1 – an (alpha + eta )  an gamma }} cr&= {{{1 over 3} + {1 over 2}} over {1 – {1 over 3}.{1 over 2}}} = 1 cr} ) 

Vì (0 < alpha  + eta  + gamma  < {{3pi } over 2} Rightarrow alpha  + eta  + gamma  = {pi  over 4})

c) Ta có:

(eqalign{
& {1 over {sin {{10}^0}}} – {{sqrt 3 } over {cos {{10}^0}}} = {{cos {{10}^0} – sqrt 3 sin {{10}^0}} over {sin {{10}^0}cos {{10}^0}}} cr
& = {{2(cos{{60}^0}cos {{10}^0} – sin {{60}^0}sin {{10}^0})} over {sin {{10}^0}cos {{10}^0}}} cr&= {{2cos ({{60}^0} + {{10}^0})} over {{1 over 2}sin {{20}^0}}} cr
& = {{4cos {{70}^0}} over {cos {{70}^0}}} = 4 cr} )