Bài 55 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao, a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ...

Bài 55

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (y = x – {2 over {x – 1}})

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm ((3;3)).

Giải

a) Tập xác định: (D = Rackslash left{ 1 ight})

(y’ = 1 + {2 over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}} > 0,forall x in D)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (( – infty ;1)) và ((1; + infty ))

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} y = + infty cr
& mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} y = – infty cr} )

Do đó (x=1) là tiệm cận đứng.

(mathop {lim }limits_{x o  pm infty } (y – x) = mathop {lim }limits_{x o  pm infty } left( { – {2 over {x – 1}}} ight) = 0)

Vậy (y=x) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao (Ox) tại ((-1;0),(2;0))

Đồ thị giao (Oy) tại (0;2))

b) Ta có: (y’ = 1 + {2 over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}})
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm (Mleft( {{x_o};{y_o}} ight) in left( C ight)) là:

(left( d ight):,y – {x_o} + {2 over {{x_o} – 1}} = left[ {1 + {2 over {{{left( {{x_o} – 1} ight)}^2}}}} ight]left( {x – {x_o}} ight),left( {x e 1} ight))

Vì (left( {3;3} ight) in d) nên (3 – {x_o} + {2 over {{x_o} – 1}} = {{{{left( {{x_o} – 1} ight)}^2} + 2} over {{{left( {{x_o} – 1} ight)}^2}}}left( {3 – {x_o}} ight))

(eqalign{
& Leftrightarrow left( {3 – {x_o}} ight){left( {{x_o} – 1} ight)^2} + 2left( {{x_o} – 1} ight) = left( {{x_o} – 2{x_o} + 3} ight)left( {3 – {x_o}} ight) cr
& Leftrightarrow {x_o} = 2;,{y_o} = yleft( 2 ight) = 0 cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,y’left( 2 ight) = 3 cr} )

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: (y = 3left( {x – 2} ight)) hay (y = 3x – 6.)