Bài 49 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao, a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai...

Bài 49.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : (y = {{x – 2} over {2x + 1}})
b) Chứng minh rằng giao điểm (I) của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

Giải

a) TXĐ: (Rackslash left{ { – {1 over 2}} ight})
Ta có: (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – {1 over 2}} ight)}^ + }} y =  – infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – {1 over 2}} ight)}^ – }} y =  + infty ) nên đường thẳng (x =  – {1 over 2}) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Vì (mathop {lim }limits_{x o  + infty } y = mathop {lim }limits_{x o  – infty } y = {1 over 2}) nên đường thẳng (y = {1 over 2}) là tiệm cận ngang của đồ thị.

(y’ = {{left| matrix{
1,,,,,,,,,2 hfill cr
2,,,,,,,,,1 hfill cr} ight|} over {{{left( {2x + 1} ight)}^2}}} = {5 over {{{left( {2x + 1} ight)}^2}}} > 0) với mọi (x e  – {1 over 2})

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ; – {1 over 2}} ight)) và (left( { – {1 over 2}; + infty } ight))
Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung tại điểm ((0;-2)) và cắt trục hoành tại điểm ((2;0)).

b) Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị (Ileft( { – {1 over 2};{1 over 2}} ight))
Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto (overrightarrow {OI} ) là:

(left{ matrix{
x = X – {1 over 2} hfill cr
y = Y + {1 over 2} hfill cr} ight.)

Phương trình của đồ thị ((C)) đối với trục (IXY):

(Y + {1 over 2} = {{X – {1 over 2} – 2} over {2left( {X – {1 over 2}} ight) + 1}} Leftrightarrow Y + {1 over 2} = {{X – {5 over 2}} over {2X}} Leftrightarrow Y =  – {5 over {4X}})

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhân I làm tâm đối xứng.