Bài 50 trang 215 Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:...

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

a) (sinA = cosB + cosC) thì ΔABC vuông

b) (sinA = 2sinB.cosC) thì ΔABC cân

Đáp án

a) Ta có:

(eqalign{
& sinA = cosB + cosCcr& Rightarrow sin A = 2cos {{B + C} over 2}cos {{B – C} over 2} cr
& Leftrightarrow 2sin {A over 2}(cos{A over 2} – cos {{B – C} over 2}) = 0 cr
& Leftrightarrow cos {A over 2} = cos {{B – C} over 2};(sin{A over 2} e 0,do,0 < A < pi ) cr} )

Nhưng: (0 < {A over 2} < {pi  over 2};|{{B – C} over 2}|, < {pi  over 2}) , nên:

(cos {A over 2} = cos {{B – C} over 2} Leftrightarrow {A over 2} = |{{B – C} over 2}|, Leftrightarrow A = |B – C|)

+ Nếu B > C thì A = B – C. Suy ra: (S = {pi  over 2})

+ Nếu B < C thì A = C – B. Suy ra: (C = {pi  over 2})

b) (sinA = 2sinB.cosC )

(⇔ sin A = sin (B + C) + sin (B – C))

(⇔ sin A = sin(π – A) + sin(B – C) )

(⇔ sin(B – C) = 0)

Vì (0 ≤ |B – C| ≤ π), nên (B – C = 0)

Vậy tam giác ABC cân tại A.