Bài 5 trang 131 sgk Toán 8 tập 2, Chứng minh rằng:...

Chứng minh rằng:

 ({{{a^2}} over {a + b}} + {{{b^2}} over {b + c}} + {{{c^2}} over {c + a}} = {{{b^2}} over {a + b}} + {{{c^2}} over {b + c}} + {{{a^2}} over {c + a}})

Hướng dẫn làm bài:

Cách 1: Thực hiện phép cộng riêng từng vế:

VT: (={{{a^2}} over {a + b}} + {{{b^2}} over {b + c}}{{{a^2}left( {b + c} ight)left( {c + a} ight) + {b^2}left( {a + b} ight)left( {c + a} ight) + {c^2}left( {a + b} ight)left( {b + c} ight)} over {left( {a + b} ight)left( {b + c} ight)left( {c + a} ight)}} + {{{c^2}} over {c + a}})

(={{{b^2}} over {a + b}} + {{{c^2}} over {b + c}} + {{{a^2}} over {c + a}})

Tử bằng:

(={a^2}left( {bc + ab + {c^2} + ac} ight) + {b^2}left( {ac + {a^2} + bc + ab} ight) + {a^2}left( {ab + ac + {b^2} + bc} ight))

(={a^2}bc + {a^3}b + {a^2}{c^2} + {a^3}c + a{b^2}c + {a^2}{b^2} + {b^3}c + a{b^3} + ab{c^3} + a{c^3} + {b^2}{c^2} + b{c^3})

(={a^3}left( {b + c} ight) + {a^2}left( {bc + {b^2} + {c^2}} ight) + aleft( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} ight) + bcleft( {bc + {b^2} + {c^2}} ight)left( 1 ight)) (1)

VP: (={a^3}left( {b + c} ight) + {a^2}left( {bc + {b^2} + {c^2}} ight) + aleft( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} ight){{{b^2}left( {b + c} ight)left( {c + a} ight) + {c^2}left( {a + b} ight)left( {c + a} ight) + {a^2}left( {a + b} ight)left( {b + c} ight)} over {left( {a + b} ight)left( {b + c} ight)left( {c + a} ight)}} + bcleft( {bc + {b^2} + {c^2}} ight)left( 1 ight))

(={b^2}left( {bc + ab + {c^2} + ac} ight) + {c^2}left( {ac + {a^2} + bc + ab} ight) + {a^2}left( {ab + ac + {b^2} + bc} ight))

(={b^3}c + a{b^3} + {b^2}{c^2} + a{b^2}c + a{c^3} + {a^2}{c^2} + b{c^3} + ab{c^2} + {a^3}b + {a^3}c + {a^2}{b^2} + {a^2}bc)

(={a^3}left( {b + c} ight) + {a^2}left( {bc + {b^2} + {c^2}} ight) + aleft( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} ight) + bcleft( {bc + {b^2} + {c^2}} ight)) (2)

So sánh (1) và (2) ta suy ra vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được  chứng minh.

Cách 2: Xét hiệu hai vế

({a^3}left( {b + c} ight) + {a^2}left( {bc + {b^2} + {c^2}} ight) + aleft( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} ight) + bcleft( {bc + {b^2} + {c^2}} ight){{{a^2}} over {a + b}} – {{{b^2}} over {a + b}} + {{{b^2}} over {b + c}} – {{{c^2}} over {b + c}} + {{{c^2}} over {c + a}} – {{{a^2}} over {c + a}})

(={{left( {a + b} ight)left( {a – b} ight)} over {a + b}} – {{left( {b + c} ight)left( {b – c} ight)} over {b + c}} + {{left( {c + a} ight)left( {c – a} ight)} over {c + a}})

(=a – b + b – c + c – a = 0)

Vậy  ({{{a^2}} over {a + b}} + {{{b^2}} over {b + c}} + {{{c^2}} over {c + a}} = {{{b^2}} over {a + b}} + {{{c^2}} over {b + c}} + {{{a^2}} over {c + a}})

Nhận xét: Cách 2 nhanh gọn hơn cách 1.