Bài 5.22 trang 223 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox:

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox:

a) y = x³ ; y = 1 và x = 3

b) (y = {2 over pi }x;y = sin x;x in { m{[}}0;{pi  over 2}{ m{]}})

c) (y = {x^alpha },alpha  in {N^*};y = 0;x = 0) và x = 1

Hướng dẫn làm bài

a) 

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi miền CED quay quanh trục Ox là hiệu của hai thể tích (V₁ và V₂) của hai vật thể tròn xoay tương ứng sinh ra khi miền ACEB và miền ACDB quay quanh trục Ox. Như vậy  V = V₁ – V₂ , trong đó :

({V_1} = pi intlimits_1^3 {{x^6}} dx = {1 over 7}pi {x^7}left| {matrix{3 cr 1 cr} } ight. = {pi over 7}({3^7} - 1))

({V_2} = pi intlimits_1^3 {dx = 2pi })

(Rightarrow V = {V_1} - {V_2} = {pi  over 7}({3^7} - 15) = 310{2 over 7}pi ) (đơn vị thể tích)

b)

Ta có V = V₁ – V₂ trong đó

({V_1} = pi intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{sin }^2}xdx}  = {{{pi ^2}} over 4})

({V_2} = pi intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{({2 over pi }x)}^2}dx = {{{pi ^2}} over 6}} )

(V = {V_1} - {V_2} = {{{pi ^2}} over {12}}) (đơn vị thể tích)

c) Hình vẽ

 

(V = pi intlimits_0^1 {{x^{2alpha }}dx}  = {pi  over {2alpha  + 1}})

Sachbaitap.com