Bài 5.22 trang 223 sách bài tập – Giải tích 12: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới...

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox:

a) y = x³ ; y = 1 và x = 3

b) (y = {2 over pi }x;y = sin x;x in { m{[}}0;{pi  over 2}{ m{]}})

c) (y = {x^alpha },alpha  in {N^*};y = 0;x = 0) và x = 1

Hướng dẫn làm bài

a) 

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi miền CED quay quanh trục Ox là hiệu của hai thể tích (V₁ và V₂) của hai vật thể tròn xoay tương ứng sinh ra khi miền ACEB và miền ACDB quay quanh trục Ox. Như vậy  V = V₁ – V₂ , trong đó :

({V_1} = pi intlimits_1^3 {{x^6}} dx = {1 over 7}pi {x^7}left| {matrix{3 cr 1 cr} } ight. = {pi over 7}({3^7} – 1))

({V_2} = pi intlimits_1^3 {dx = 2pi })

(Rightarrow V = {V_1} – {V_2} = {pi  over 7}({3^7} – 15) = 310{2 over 7}pi ) (đơn vị thể tích)

b)

Ta có V = V₁ – V₂ trong đó

({V_1} = pi intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{sin }^2}xdx}  = {{{pi ^2}} over 4})

({V_2} = pi intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{({2 over pi }x)}^2}dx = {{{pi ^2}} over 6}} )

(V = {V_1} – {V_2} = {{{pi ^2}} over {12}}) (đơn vị thể tích)

c) Hình vẽ

(V = pi intlimits_0^1 {{x^{2alpha }}dx}  = {pi  over {2alpha  + 1}})