Bài 41 trang 214 Đại số 10 Nâng cao: Hãy tính giá trị lượng giác sau:...

a) Biết (sin alpha  = {1 over 3};,,alpha  in ({pi  over 2};,pi )) , hãy tính giá trị lượng giác của góc 2α  và góc ({alpha  over 2})

b) Sử dụng ({15^0} = {{{{30}^0}} over 2}) , hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.

Đáp án

a) Ta có:

(left{ matrix{
sin alpha = {1 over 3} hfill cr
{pi over 2} < alpha < pi hfill cr} ight. )

(Rightarrow cos alpha = – sqrt {1 – {{sin }^2}alpha } = – sqrt {1 – {1 over 9}} = – {{2sqrt 2 } over 3})

Khi đó:

(eqalign{
& sin 2alpha = 2sin alpha cos alpha = 2.{1 over 3}( – {{2sqrt 2 } over 3}) = – {{4sqrt 2 } over 9} cr
& cos 2alpha = 1 – 2{sin ^2}alpha = {7 over 9} cr
& an 2alpha = {{sin 2alpha } over {cos 2alpha }} = – {{4sqrt 2 } over 7} cr
& cot 2alpha = – {{7sqrt 2 } over 8} cr} )

Ta có:

({pi over 4} < {alpha over 2} < {pi over 2} Rightarrow left{ matrix{
cos {alpha over 2} > 0 hfill cr
sin {alpha over 2} > 0 hfill cr} ight.)

(eqalign{
& cos alpha = 2{cos ^2}{alpha over 2} – 1 cr&Rightarrow cos {alpha over 2} = sqrt {{{1 + cos alpha } over 2}} = sqrt {{{3 – 2sqrt 2 } over 6}} cr
& cos alpha = 1 – {sin ^2}{alpha over 2} cr&Rightarrow sin {alpha over 2} = sqrt {{{1 – cos alpha } over 2}} = sqrt {{{3 + 2sqrt 2 } over 6}} cr
& an {alpha over 2} = {{sin {alpha over 2}} over {cos {alpha over 2}}} = 3 + 2sqrt 2 cr
& cot {alpha over 2} = 3 – 2sqrt 2 cr} )

b) Ta có:

(eqalign{
& 2{cos ^2}{15^0} = 1 + cos {30^0} = 1 + {{sqrt 3 } over 2} cr&Rightarrow cos {15^0} = sqrt {{{2 + sqrt 3 } over 2}} cr
& 2{sin ^2}{15^0} = 1 – cos {30^0} = 1 – {{sqrt 3 } over 2}cr& Rightarrow sin {15^0} = sqrt {{{2 – sqrt 3 } over 2}} cr
& an {15^0} = sqrt {{{2 – sqrt 3 } over {2 + sqrt 3 }}} = 2 – sqrt 3 cr
& cot {15^0} = 2 + sqrt 3 cr} )