Bài 23 trang 201 Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α...

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α

a) (sqrt {{{sin }^4}alpha  + 4(1 – {{sin }^2}alpha )}  + sqrt {{{cos }^4}alpha  + 4{{sin }^2}alpha } )

b) (2(si{n^6}alpha { m{ }} + { m{ }}co{s^6}alpha { m{ }}){ m{ }}-{ m{ }}3(co{s^4}alpha { m{ }} + { m{ }}si{n^4}alpha { m{ }}))

c) ({2 over { an alpha  – 1}} + {{cot alpha  + 1} over {cot alpha  – 1}},,,,( an alpha   e 1))

Đáp án

a) Ta có:

(eqalign{
& sqrt {{{sin }^4}alpha + 4(1 – {{sin }^2}alpha )} = sqrt {{{(2 – {{sin }^2}alpha )}^2}} cr
& = 2 – {sin ^2}alpha ,,,,,,,,,({sin ^2}alpha le 1) cr
& sqrt {{{cos }^4}alpha + 4(1 – {{cos }^2})} = sqrt {{{(2 – {{cos }^2}alpha )}^2}} cr
& = 2 – {cos ^2}alpha ,,,,,,,,(co{s^2}alpha le1) cr} )

Vậy (sqrt {{{sin }^4}alpha  + 4(1 – {{sin }^2}alpha )}  + sqrt {{{cos }^4}alpha  + 4{{sin }^2}alpha } )

(= { m{ }}4{ m{ }}-{ m{ }}si{n^2}alpha { m{ }}-{ m{ }}co{s^2}alpha { m{ }} = { m{ }}4{ m{ }}-{ m{ }}1 = { m{ }}3)

b) Ta có:

(si{n^6}alpha { m{ }} + { m{ }}co{s^6}alpha ) 

( = { m{ }}(si{n^2}alpha { m{ }} + { m{ }}co{s^2}alpha ){ m{ }}-{ m{ }}3si{n^2}alpha co{s^2}alpha { m{ }}(si{n^2}alpha { m{ }} + { m{ }}co{s^2}alpha ))

( = { m{ }}1{ m{ }}-{ m{ }}3si{n^2}alpha { m{ }}co{s^2}alpha )

(co{s^4}alpha { m{ }} + { m{ }}si{n^4}alpha { m{ }} = { m{ }}{(co{s^2}alpha { m{ }} + { m{ }}si{n^2}alpha )^2}-{ m{ }}2si{n^2}alpha { m{ }}co{s^2}alpha )

( = { m{ }}1{ m{ }} – { m{ }}2si{n^2}alpha { m{ }}co{s^2}alpha )

Suy ra: 

(eqalign{
& 2left( {{{sin }^6}alpha + {{cos }^6}alpha } ight) – 3({cos ^4}alpha + {sin ^4}alpha ) cr
& = 2 – 6{sin ^2}alpha {cos ^2}alpha – 3(1 – 2{sin ^2}alpha {cos ^2}alpha ) cr
& = 2 – 3 = – 1 cr} )

c) Ta có:

(eqalign{
& {2 over { an alpha – 1}} + {{cot alpha + 1} over {cot alpha – 1}},,,, cr&= {2 over {{1 over {cot alpha }} – 1}} + {{cos alpha + 1} over {cot alpha – 1}} cr
& = {{2cot alpha } over {1 – cot alpha }} + {{cot alpha + 1} over {cot alpha – 1}} = {{cot alpha – 1} over {1 – cot alpha }} = – 1 cr} )